Problema 7 (1,0 Ponto cada): Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D_{1} e D_{2}, tenham distribuições N\left(44 ; 6^{2}\right) e N\left(48 ; 3^{2}\right), respectivamente.
E se os aparelhos são utilizados por um período superior ao de 50 horas. Há aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo retirado do enunciado):
  • D_{1} tem distribuição \,N\bigl(44;6^{2}\bigr). Ou seja, média \mu_{1}=44 e desvio padrão \sigma_{1}=6.
  • D_{2} tem distribuição \,N\bigl(48;3^{2}\bigr). Ou seja, média \mu_{2}=48 e desvio padrão \sigma_{2}=3.
    O que se pede: comparar os aparelhos quanto à probabilidade de serem utilizados por um período superior a \,50 horas; isto é, calcular P(D_{1}>50) e P(D_{2}>50) e decidir se há um aparelho a ser preferido e por quê.

Passo 2

Lembrete/do que vamos usar (explicação didática da técnica):
  • Para uma variável aleatória D com distribuição normal \,N(\mu,\sigma^{2}), a probabilidade de D exceder um valor x é
P(D>x)=1-\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão \,N(0,1).
  • A padronização transforma D em uma normal padrão Z por
Z=\frac{D-\mu}{\sigma}.
Ou seja, calcular P(D>50) equivale a calcular 1-\Phi(z) com z=(50-\mu)/\sigma.
  • Na prova: normalmente usa-se tabela da normal padrão ou calculadora para obter valores de \Phi(z). Vou indicar os valores usuais de tabela para z=1 e para z\approx0,6667.

Passo 3

Calcular P(D_{1}>50):
  • Padronizamos:
z_{1}=\frac{50-\mu_{1}}{\sigma_{1}}=\frac{50-44}{6}=\frac{6}{6}=1.
  • Portanto
P(D_{1}>50)=1-\Phi(1).
  • Pela tabela da normal padrão temos \Phi(1)\approx0{,}8413. Logo
P(D_{1}>50)=1-0{,}8413=0{,}1587.

Passo 4

Calcular P(D_{2}>50):
  • Padronizamos:
z_{2}=\frac{50-\mu_{2}}{\sigma_{2}}=\frac{50-48}{3}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667.
  • Portanto
P(D_{2}>50)=1-\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right).
  • Pela tabela da normal padrão (ou calculadora) \Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx0{,}7475. Logo
P(D_{2}>50)=1-0{,}7475=0{,}2525.

Passo 5

Comparação e interpretação (aula rápida e intuitiva):
  • Obtivemos P(D_{1}>50)\approx0{,}1587 e P(D_{2}>50)\approx0{,}2525.
  • Como 0{,}2525>0{,}1587, o aparelho D_{2} tem maior probabilidade de durar mais que \,50 horas.
  • Intuição: D_{2} tem média maior ( 48 contra 44) e desvio padrão menor ( 3 contra 6), ou seja, tende a durar mais em média e com menos variação — isso aumenta a chance de ultrapassar o limiar de 50 horas.

Passo 6

Conclusão final e recomendação rápida: com base na probabilidade de duração superior a \,50 horas, deve-se preferir o aparelho D_{2}, pois tem maior probabilidade de exceder esse tempo.

Resposta

Preferir D_{2}: P(D_{1}>50)=0,1587
P(D_{2}>50)=0,2525

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