Problema 7 (1,0 Ponto cada): Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos,
e
, tenham distribuições
e
, respectivamente.
E se os aparelhos são utilizados por um período superior ao de 50 horas. Há aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?
E se os aparelhos são utilizados por um período superior ao de 50 horas. Há aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo retirado do enunciado):
-
tem distribuição . Ou seja, média e desvio padrão . -
tem distribuição . Ou seja, média e desvio padrão .
O que se pede: comparar os aparelhos quanto à probabilidade de serem utilizados por um período superior ahoras; isto é, calcular e e decidir se há um aparelho a ser preferido e por quê.
Passo 2
Lembrete/do que vamos usar (explicação didática da técnica):
- Para uma variável aleatória
com distribuição normal , a probabilidade de exceder um valor é
onde
é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão
.
- A padronização transforma
em uma normal padrão por
Ou seja, calcular
equivale a calcular
com
.
- Na prova: normalmente usa-se tabela da normal padrão ou calculadora para obter valores de
. Vou indicar os valores usuais de tabela para e para .
Passo 3
Calcular
:
- Padronizamos:
- Portanto
- Pela tabela da normal padrão temos
. Logo
Passo 4
Calcular
:
- Padronizamos:
- Portanto
- Pela tabela da normal padrão (ou calculadora)
. Logo
Passo 5
Comparação e interpretação (aula rápida e intuitiva):
- Obtivemos
e . - Como
, o aparelho tem maior probabilidade de durar mais que horas. - Intuição:
tem média maior ( contra ) e desvio padrão menor ( contra ), ou seja, tende a durar mais em média e com menos variação — isso aumenta a chance de ultrapassar o limiar de horas.
Passo 6
Conclusão final e recomendação rápida: com base na probabilidade de duração superior a
horas, deve-se preferir o aparelho
, pois tem maior probabilidade de exceder esse tempo.
Resposta
Preferir
: