Problema 7 (1,0 Ponto cada): Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D_{1} e D_{2}, tenham distribuições N\left(44 ; 6^{2}\right) e N\left(48 ; 3^{2}\right), respectivamente.
Se os aparelhos sāo feitos para serem usados por um período superior ao de 46 horas. Há aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Informações fornecidas:
    • A amplitude de vida do aparelho D_{1} tem distribuição normal com média 44 e desvio padrão 6. Em notação: D_{1}\sim N\bigl(44;6^{2}\bigr).
    • A amplitude de vida do aparelho D_{2} tem distribuição normal com média 48 e desvio padrão 3. Em notação: D_{2}\sim N\bigl(48;3^{2}\bigr).
  • O enunciado pergunta: os aparelhos são feitos para serem usados por um período superior a 46 horas. Há um aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?
    • Em termos práticos: devemos comparar as probabilidades \mathbb{P}(D_{1}>46) e \mathbb{P}(D_{2}>46). O aparelho com a maior probabilidade de durar mais que 46 horas é o preferível para esse requisito.

Passo 2

Explicação do método (aula curta e prática): como calcular \mathbb{P}(X>a) quando X é normal.
  • Se X\sim N(\mu,\sigma^{2}), para calcular a probabilidade \mathbb{P}(X>a) usa-se a padronização para a variável normal padrão Z\sim N(0,1).
  • A padronização é Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.Aqui:
    • \mu é a média da distribuição (valor esperado),
    • \sigma é o desvio padrão,
    • Z tem média 0 e desvio padrão 1.
  • Então \mathbb{P}(X>a)=\mathbb{P}\!\left(Z>\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão: \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z).
  • Interpretação simples: calculamos quantos desvios-padrão acima (ou abaixo) da média está o valor a (esse é o z-score) e usamos tabelas ou aproximações da normal padrão para achar a probabilidade.

Passo 3

Calcular \mathbb{P}(D_{1}>46) passo a passo.
  • Para D_{1}: \mu_{1}=44, \sigma_{1}=6, e queremos a=46.
  • Calcular o z-score: z_{1}=\frac{46-\mu_{1}}{\sigma_{1}}=\frac{46-44}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0{,}3333.
  • Aplicar a fórmula: \mathbb{P}(D_{1}>46)=1-\Phi(z_{1})=1-\Phi(0{,}3333).
  • Consultando uma tabela da normal padrão (ou usando interpolação entre valores tabelados):
    • \Phi(0{,}33)=0{,}6293 e \Phi(0{,}34)=0{,}6331. Interpolando para 0{,}3333 obtém-se aproximadamente \Phi(0{,}3333)\approx0{,}6306.
  • Portanto \mathbb{P}(D_{1}>46)\approx 1-0{,}6306=0{,}3694.
  • Interpretação: cerca de 36{,}94\% dos aparelhos D_{1} durarão mais que 46 horas.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(D_{2}>46) passo a passo.
  • Para D_{2}: \mu_{2}=48, \sigma_{2}=3, e a=46.
  • Calcular o z-score: z_{2}=\frac{46-\mu_{2}}{\sigma_{2}}=\frac{46-48}{3}=\frac{-2}{3}\approx-0{,}6667.
  • Aplicar a fórmula. Aqui é conveniente usar a simetria da normal: \mathbb{P}(D_{2}>46)=1-\Phi(z_{2})=1-\Phi(-0{,}6667)=\Phi(0{,}6667),porque 1-\Phi(-z)=\Phi(z).
  • Consultando a tabela da normal padrão:
    • \Phi(0{,}66)=0{,}7454 e \Phi(0{,}67)=0{,}7480. Interpolando para 0{,}6667 dá aproximadamente \Phi(0{,}6667)\approx0{,}7471.
  • Portanto \mathbb{P}(D_{2}>46)\approx 0{,}7471.
  • Interpretação: cerca de 74{,}71\% dos aparelhos D_{2} durarão mais que 46 horas.

Passo 5

Comparação, interpretação prática e recomendação.
  • Resultados numéricos:
    • \mathbb{P}(D_{1}>46)\approx0{,}3694 (aprox. 36{,}94\%).
    • \mathbb{P}(D_{2}>46)\approx0{,}7471 (aprox. 74{,}71\%).
  • Como a probabilidade de durar mais que 46 horas é muito maior para D_{2} do que para D_{1}, o aparelho D_{2} deve ser preferido se o critério é justamente “ser usado por um período superior a 46 horas”.
  • Intuição adicional (sem tabelas): D_{2} tem média maior ( 48>44) e desvio padrão menor ( 3<6), ou seja, além de ter vida média mais alta, é mais concentrado (menos variabilidade). Isso o torna mais confiável para ultrapassar o limiar de 46 horas.

Resposta

Sim. Deve-se preferir D_{2}, pois \mathbb{P}(D_{1}>46)\approx0{,}3694 e \mathbb{P}(D_{2}>46)\approx0{,}7471; a probabilidade de D_{2} durar mais que 46 horas é bem maior.

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