Problema 7 (1,0 Ponto cada): Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos,
e
, tenham distribuições
e
, respectivamente.
Se os aparelhos sāo feitos para serem usados por um período superior ao de 46 horas. Há aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?
Se os aparelhos sāo feitos para serem usados por um período superior ao de 46 horas. Há aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê?
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Informações fornecidas:
- A amplitude de vida do aparelho
tem distribuição normal com média e desvio padrão . Em notação: . - A amplitude de vida do aparelho
tem distribuição normal com média e desvio padrão . Em notação: .
- A amplitude de vida do aparelho
- O enunciado pergunta: os aparelhos são feitos para serem usados por um período superior a
horas. Há um aparelho que deve ser preferido? Se sim, qual e por quê? - Em termos práticos: devemos comparar as probabilidades
e . O aparelho com a maior probabilidade de durar mais que horas é o preferível para esse requisito.
- Em termos práticos: devemos comparar as probabilidades
Passo 2
Explicação do método (aula curta e prática): como calcular
quando
é normal.
- Se
, para calcular a probabilidade usa-se a padronização para a variável normal padrão . - A padronização é
Aqui: -
é a média da distribuição (valor esperado), -
é o desvio padrão, -
tem média e desvio padrão .
-
- Então
onde é a função de distribuição acumulada da normal padrão: . - Interpretação simples: calculamos quantos desvios-padrão acima (ou abaixo) da média está o valor
(esse é o -score) e usamos tabelas ou aproximações da normal padrão para achar a probabilidade.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Para
: , , e queremos . - Calcular o
-score: - Aplicar a fórmula:
- Consultando uma tabela da normal padrão (ou usando interpolação entre valores tabelados):
-
e . Interpolando para obtém-se aproximadamente .
-
- Portanto
- Interpretação: cerca de
dos aparelhos durarão mais que horas.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Para
: , , e . - Calcular o
-score: - Aplicar a fórmula. Aqui é conveniente usar a simetria da normal:
porque . - Consultando a tabela da normal padrão:
-
e . Interpolando para dá aproximadamente .
-
- Portanto
- Interpretação: cerca de
dos aparelhos durarão mais que horas.
Passo 5
Comparação, interpretação prática e recomendação.
- Resultados numéricos:
-
(aprox. ). -
(aprox. ).
-
- Como a probabilidade de durar mais que
horas é muito maior para do que para , o aparelho deve ser preferido se o critério é justamente “ser usado por um período superior a horas”. - Intuição adicional (sem tabelas):
tem média maior ( ) e desvio padrão menor ( ), ou seja, além de ter vida média mais alta, é mais concentrado (menos variabilidade). Isso o torna mais confiável para ultrapassar o limiar de horas.
Resposta
Sim. Deve-se preferir
, pois
e
; a probabilidade de
durar mais que
horas é bem maior.