Determine a área da região
limitada pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado dá as três retas que limitam a região
:
O que pede: determinar a área da região
limitada por essas retas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As curvas são retas simples (linhas).
- A interseção entre
e ocorre quando . - A reta vertical
corta tanto quanto nos pontos e .
Passo 2
Descrever geometricamente a região
.
A interseção de
com
dá:
As três curvas cortam-se nos pontos
,
e
. Assim,
é o triângulo com vértices nesses três pontos. Visualmente, para cada
entre
e
, a região vai do bordo inferior
até o bordo superior
.
Passo 3
Explicar a fórmula de área por integração e aplicar.
Quando uma região é limitada verticalmente entre duas funções
e
para
em
, a área
é dada por
Aqui cada pequena faixa vertical em
tem altura
e espessura
; somando (integrando) obtemos a área total.
No nosso caso:
-
, -
, - os limites em
são e (porque a região ocupa ).
Portanto
Passo 4
Calcular a integral passo a passo.
A primitiva de
é
. Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Passo 5
Verificação alternativa (fórmula geométrica do triângulo).
Como já vimos que
é um triângulo retângulo com base sobre o eixo
de comprimento
(entre
e
) e altura
(de
até
), a área pela fórmula do triângulo é
confirmando o resultado da integração.