Determine a área da região R limitada pelas retas y=x, y=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado dá as três retas que limitam a região R:
  • y=x
  • y=0
  • x=1
O que pede: determinar a área da região R limitada por essas retas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As curvas são retas simples (linhas).
  • A interseção entre y=x e y=0 ocorre quando x=0.
  • A reta vertical x=1 corta tanto y=0 quanto y=x nos pontos (1,0) e (1,1).

Passo 2

Descrever geometricamente a região R.
A interseção de y=x com y=0 dá:
x=0\quad\text{e portanto o ponto}\quad(0,0).
As três curvas cortam-se nos pontos (0,0), (1,0) e (1,1). Assim, R é o triângulo com vértices nesses três pontos. Visualmente, para cada x entre 0 e 1, a região vai do bordo inferior y=0 até o bordo superior y=x.

Passo 3

Explicar a fórmula de área por integração e aplicar.
Quando uma região é limitada verticalmente entre duas funções y=y_{\text{top}}(x) e y=y_{\text{bottom}}(x) para x em [a,b], a área A é dada por
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui cada pequena faixa vertical em x tem altura y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}} e espessura dx; somando (integrando) obtemos a área total.
No nosso caso:
  • y_{\text{top}}(x)=x,
  • y_{\text{bottom}}(x)=0,
  • os limites em x são a=0 e b=1 (porque a região ocupa 0\le x\le 1).
Portanto
A=\int_{0}^{1}\bigl(x-0\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}x\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
A=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (fórmula geométrica do triângulo).
Como já vimos que R é um triângulo retângulo com base sobre o eixo x de comprimento 1 (entre (0,0) e (1,0)) e altura 1 (de (1,0) até (1,1)), a área pela fórmula do triângulo é
A=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2},
confirmando o resultado da integração.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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