Seja F(x)=\int_{1}^{x^{2}-1} \frac{10}{\sqrt{1+u}} d u. Calcule F^{\prime}(10).
a) 30
b) 40
c) 10
d) 20
e) 15 .

Passo 1

O enunciado define a função
F(x)=\int_{1}^{\,x^{2}-1}\frac{10}{\sqrt{1+u}}\,du
e pede F'(10). Aqui vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=\int_{a}^{g(x)}f(u)\,du,
então
F'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
No nosso caso, f(u)=\frac{10}{\sqrt{1+u}} e g(x)=x^2-1. Logo,
F'(x) =\frac{10}{\sqrt{1+\bigl(x^2-1\bigr)}}\cdot\frac{d}{dx}(x^2-1).

Passo 3

Calculando as partes:
1+\bigl(x^2-1\bigr)=x^2,
então \sqrt{x^2}=|x|. Como vamos avaliar em x=10>0, temos \sqrt{x^2}=x. Além disso,
\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x.
Substituindo,
F'(x) =\frac{10}{x}\cdot(2x) =20.

Resposta

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