Problema 4 ( 1,5 Pontos): Em determinado concurso, havia 600 candidatos para 60 vagas. Realizada a prova, o número médio de acertos foi de 70, com desvio padrão de 5. Qual o número mínimo de acertos para que um candidato se classifique, sabendo que esta varíável apresentou distribuição normal?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
  • Número de candidatos: 600.
  • Número de vagas: 60.
  • Média dos acertos: \mu=70.
  • Desvio padrão: \sigma=5.
  • Suposição: a variável número de acertos segue distribuição normal.
  • Pergunta: qual o número mínimo de acertos para que um candidato se classifique entre os 60 aprovados?

Passo 2

Interpretar o problema em termos de probabilidades (isso é importante): ser classificado entre os 60 melhores entre 600 candidatos significa estar no top \tfrac{60}{600} = 0,10 da distribuição. Ou seja, um candidato aprovado tem um escore que está entre os 10\% maiores valores. Em termos de probabilidade:
P(X \ge x_{\text{corte}})=0{,}10.
Equivalente:
P(X < x_{\text{corte}})=0{,}90.

Passo 3

Explicar o conceito que vamos usar (normal padrão e z-score), passo a passo e de forma simples.
  • A variável X dos acertos é normal com média \mu e desvio padrão \sigma.
  • Podemos padronizar X para a normal padrão Z (média 0, desvio padrão 1) usando:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Para achar um percentil p (aqui p=0{,}90), primeiro achamos o valor z_p tal que \Phi(z_p)=p. Depois voltamos para X com
x_p=\mu+z_p\,\sigma.
Isso dá o valor de corte na escala original.

Passo 4

Aplicar ao nosso caso: queremos p=0{,}90, logo precisamos do z que satisfaz \Phi(z)=0{,}90. Esse valor é o quantil \,z_{0{,}90}.
Em tabelas de normal padrão ou calculadora estatística costuma-se usar o valor aproximado
z_{0{,}90}\approx 1{,}2816.
(Em muitos livros aparece 1{,}28155\ldots; vamos usar 1{,}2816 por praticidade.)

Passo 5

Agora calculamos o corte na escala dos acertos usando a fórmula
x_{0{,}90}=\mu+z_{0{,}90}\,\sigma.
Substituindo os números que temos:
x_{0{,}90}=70+1{,}2816\times 5.

Passo 6

Fazer a multiplicação e a soma com cuidado, passo a passo:
1{,}2816\times 5=6{,}408.
Portanto
x_{0{,}90}=70+6{,}408=76{,}408.

Passo 7

Interpretar o resultado numérico considerando que número de acertos é inteiro. O corte contínuo é x_{0{,}90}=76{,}408. Isso significa que quem tiver até 76 acertos ficará, na escala contínua, abaixo do percentil 90\%; quem tiver 77 acertos já excede 76{,}408 e portanto estaria entre os 10\% melhores (desprezando empates). Como não é possível ter fração de acerto, o número mínimo de acertos necessários para garantir classificação é o menor inteiro maior ou igual a 76{,}408, isto é 77.

Resposta

77 acertos.

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