Problema 4 ( 1,5 Pontos): Em determinado concurso, havia 600 candidatos para 60 vagas. Realizada a prova, o número médio de acertos foi de 70, com desvio padrão de 5. Qual o número mínimo de acertos para que um candidato se classifique, sabendo que esta varíável apresentou distribuição normal?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
- Número de candidatos:
. - Número de vagas:
. - Média dos acertos:
. - Desvio padrão:
. - Suposição: a variável número de acertos segue distribuição normal.
- Pergunta: qual o número mínimo de acertos para que um candidato se classifique entre os
aprovados?
Passo 2
Interpretar o problema em termos de probabilidades (isso é importante): ser classificado entre os
melhores entre
candidatos significa estar no top
da distribuição. Ou seja, um candidato aprovado tem um escore que está entre os
maiores valores. Em termos de probabilidade:
Equivalente:
Passo 3
Explicar o conceito que vamos usar (normal padrão e z-score), passo a passo e de forma simples.
- A variável
dos acertos é normal com média e desvio padrão . - Podemos padronizar
para a normal padrão (média , desvio padrão ) usando:
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é
. - Para achar um percentil
(aqui ), primeiro achamos o valor tal que . Depois voltamos para com
Isso dá o valor de corte na escala original.
Passo 4
Aplicar ao nosso caso: queremos
, logo precisamos do
que satisfaz
. Esse valor é o quantil
.
Em tabelas de normal padrão ou calculadora estatística costuma-se usar o valor aproximado
(Em muitos livros aparece
; vamos usar
por praticidade.)
Passo 5
Agora calculamos o corte na escala dos acertos usando a fórmula
Substituindo os números que temos:
Passo 6
Fazer a multiplicação e a soma com cuidado, passo a passo:
Portanto
Passo 7
Interpretar o resultado numérico considerando que número de acertos é inteiro. O corte contínuo é
. Isso significa que quem tiver até
acertos ficará, na escala contínua, abaixo do percentil
; quem tiver
acertos já excede
e portanto estaria entre os
melhores (desprezando empates). Como não é possível ter fração de acerto, o número mínimo de acertos necessários para garantir classificação é o menor inteiro maior ou igual a
, isto é
.