Problema 2 ( 1,0 Ponto cada): Uma placa de aço contém 20 parafusos. Considere que os parafusos são apertados até o limite apropriado por uma máquina, porém a máquina apresenta um nível de aperto adequado para
dos parafusos. Quatro parafusos são selecionados ao acaso para inspeção. Se 1 parafuso apresentar nível de aperto inapropriado a placa é submetida para aperto na máquina novamente e se a placa apresentar mais que 1 parafuso com aperto inapropriado seus 20 parafusos são inspecionados manualmente.
Qual a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto manual?
Qual a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto manual?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Há uma placa com
parafusos. - A máquina aperta cada parafuso corretamente com probabilidade
, isto é, probabilidade de aperto apropriado e de aperto inapropriado . - Selecionam-se
parafusos ao acaso para inspeção. - Se exatamente
parafuso na amostra estiver com aperto inapropriado, a placa volta à máquina (reaperto automático). - Se a amostra apresentar mais que
parafuso inapropriado (ou seja, ou ), então os parafusos são inspecionados manualmente. - O que se pede: a probabilidade de que uma placa qualquer seja submetida ao aperto manual (ou seja, a probabilidade de que a amostra de
contenha pelo menos parafusos inapropriados).
Passo 2
Como modelar o problema (por que usar binomial):
- Cada parafuso, após o processo da máquina, tem probabilidade
de estar inapropriado e de estar apropriado. Podemos modelar a inspeção dos parafusos como ensaios independentes de uma experiência de Bernoulli (cada parafuso verificado é “sucesso” se estiver inapropriado, com probabilidade ). - Assim, o número
de parafusos inapropriados na amostra de segue a distribuição binomial com parâmetros e . - Observação rápida sobre outra possibilidade: poderia pensar em hipótese de amostragem sem reposição (hipergeométrica) se os defeitos fossem um número fixo desconhecido entre os
. Mas como o enunciado dá a taxa da máquina (cada parafuso é gerado com probabilidade de defeito de forma independente), o modelo binomial é o mais direto e correto aqui. Além disso, a distribuição marginal do número de defeitos na amostra é binomial .
Passo 3
Apresentação da fórmula da binomial e o que cada simbolo significa:
- Se
, então a probabilidade de ocorrer exatamente sucessos é
onde:
-
é o número de ensaios ( aqui), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio ( = probabilidade de parafuso inapropriado), -
é o número de maneiras de escolher quais ensaios dão sucesso. - No nosso objetivo, queremos
, a probabilidade de ou mais parafusos inapropriados na amostra.
Passo 4
Calcular
(nenhum parafuso inapropriado na amostra):
- Pelo fórmula com
,
- Calcular
: e .
Passo 5
Calcular
(exatamente um parafuso inapropriado na amostra):
- Pelo fórmula com
,
- Calcular
. Então . Multiplicando por :
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida
usando complemento:
- É mais simples usar complemento:
- Substituindo os valores calculados:
Passo 7
Verificação alternativa (somando termos diretos) — só para checar:
- Calcular
, , e somar:
- Soma:
, que confirma o resultado anterior.