Problema 2 ( 1,0 Ponto cada): Uma placa de aço contém 20 parafusos. Considere que os parafusos são apertados até o limite apropriado por uma máquina, porém a máquina apresenta um nível de aperto adequado para 90 \% dos parafusos. Quatro parafusos são selecionados ao acaso para inspeção. Se 1 parafuso apresentar nível de aperto inapropriado a placa é submetida para aperto na máquina novamente e se a placa apresentar mais que 1 parafuso com aperto inapropriado seus 20 parafusos são inspecionados manualmente.
Qual a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto manual?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há uma placa com 20 parafusos.
  • A máquina aperta cada parafuso corretamente com probabilidade 90\%, isto é, probabilidade de aperto apropriado =0,90 e de aperto inapropriado =0,10.
  • Selecionam-se 4 parafusos ao acaso para inspeção.
  • Se exatamente 1 parafuso na amostra estiver com aperto inapropriado, a placa volta à máquina (reaperto automático).
  • Se a amostra apresentar mais que 1 parafuso inapropriado (ou seja, 2,3 ou 4), então os 20 parafusos são inspecionados manualmente.
  • O que se pede: a probabilidade de que uma placa qualquer seja submetida ao aperto manual (ou seja, a probabilidade de que a amostra de 4 contenha pelo menos 2 parafusos inapropriados).

Passo 2

Como modelar o problema (por que usar binomial):
  • Cada parafuso, após o processo da máquina, tem probabilidade p=0,10 de estar inapropriado e 1-p=0,90 de estar apropriado. Podemos modelar a inspeção dos 4 parafusos como 4 ensaios independentes de uma experiência de Bernoulli (cada parafuso verificado é “sucesso” se estiver inapropriado, com probabilidade p).
  • Assim, o número X de parafusos inapropriados na amostra de 4 segue a distribuição binomial com parâmetros n=4 e p=0,10.
  • Observação rápida sobre outra possibilidade: poderia pensar em hipótese de amostragem sem reposição (hipergeométrica) se os defeitos fossem um número fixo desconhecido entre os 20. Mas como o enunciado dá a taxa 90\% da máquina (cada parafuso é gerado com probabilidade 0,10 de defeito de forma independente), o modelo binomial é o mais direto e correto aqui. Além disso, a distribuição marginal do número de defeitos na amostra é binomial B(4,0,10).

Passo 3

Apresentação da fórmula da binomial e o que cada simbolo significa:
  • Se X\sim\text{Binomial}(n,p), então a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde:
  • n é o número de ensaios ( n=4 aqui),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio ( p=0,10 = probabilidade de parafuso inapropriado),
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios dão sucesso.
  • No nosso objetivo, queremos P(X\ge 2), a probabilidade de 2 ou mais parafusos inapropriados na amostra.

Passo 4

Calcular P(X=0) (nenhum parafuso inapropriado na amostra):
  • Pelo fórmula com k=0,
P(X=0)=\binom{4}{0} (0,10)^{0} (0,90)^{4} = 1\cdot 1 \cdot 0,90^{4}.
  • Calcular 0,90^{4}: 0,90^{2}=0,81 e 0,81^{2}=0,6561.
P(X=0)=0,6561.

Passo 5

Calcular P(X=1) (exatamente um parafuso inapropriado na amostra):
  • Pelo fórmula com k=1,
P(X=1)=\binom{4}{1} (0,10)^{1} (0,90)^{3} = 4 \cdot 0,10 \cdot 0,90^{3}.
  • Calcular 0,90^{3}=0,729. Então 0,10\cdot0,729=0,0729. Multiplicando por 4:
P(X=1)=4\cdot0,0729=0,2916.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida P(X\ge 2) usando complemento:
  • É mais simples usar complemento: P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
  • Substituindo os valores calculados:
P(X\ge 2)=1-0,6561-0,2916=1-0,9477=0,0523.

Passo 7

Verificação alternativa (somando termos diretos) — só para checar:
  • Calcular P(X=2), P(X=3), P(X=4) e somar:
P(X=2)=\binom{4}{2}0,10^{2}0,90^{2}=6\cdot0,01\cdot0,81=0,0486,
P(X=3)=\binom{4}{3}0,10^{3}0,90=4\cdot0,001\cdot0,90=0,0036,
P(X=4)=\binom{4}{4}0,10^{4}0,90^{0}=1\cdot0,0001\cdot1=0,0001.
  • Soma: 0,0486+0,0036+0,0001=0,0523, que confirma o resultado anterior.

Resposta

0,0523
5,23\%

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