Problema 3 (2,0 Pontos): Depois da ocorrência de acidentes de avião, faz-se uma investigação detalhada. A probabilidade de que um acidente devido a uma falha estrutural seja corretamente identificada é de 0,9 , e a probabilidade de que um acidente que não se deva a uma falha estrutural não seja corretamente
identificado como resultante de uma falha estrutural 6 de 0,3. Se 20% de todos os acidentes aéreos sāo devidos a falhas estruturais, ache a probabilidade de um acidente aéreo resultar de uma falha estrutural dado que cle foi diagnosticado como sendo devido a falha estrutural.
identificado como resultante de uma falha estrutural 6 de 0,3. Se 20% de todos os acidentes aéreos sāo devidos a falhas estruturais, ache a probabilidade de um acidente aéreo resultar de uma falha estrutural dado que cle foi diagnosticado como sendo devido a falha estrutural.
Passo 1
Listar o que o enunciado dá e o que pede (vou pegar os números diretamente do enunciado).
- Queremos a probabilidade de que um acidente seja devido a falha estrutural dado que ele foi diagnosticado como devido a falha estrutural.
- Informação fornecida:
- A proporção (prévia) de acidentes devidos a falhas estruturais é
. - A probabilidade de identificar corretamente um acidente que é devido a falha estrutural é
. - A probabilidade de que um acidente que não se deve a falha estrutural não seja corretamente identificado como resultante de falha estrutural é
.
- A proporção (prévia) de acidentes devidos a falhas estruturais é
- O enunciado pede: calcular
, onde: -
= evento “acidente é devido a falha estrutural”, -
= evento “acidente é diagnosticado como devido a falha estrutural”.
-
Passo 2
Entender e transformar as probabilidades dadas em quantidades que vamos usar.
- Temos
já pronta. - Foi dada
. Isso é a probabilidade de NÃO diagnosticar como falha estrutural quando de fato NÃO é falha estrutural. Logo
- Também sabemos
.
Agora temos todas as quantidades condicionais e as priori necessárias.
Passo 3
Apresentar a ferramenta principal: Teorema de Bayes e a lei da probabilidade total.
- O Teorema de Bayes dá a relação
- Para aplicar precisamos de
. Pela lei da probabilidade total,
Expliquei:
é a probabilidade de um acidente ser diagnosticado como falha estrutural, e ela combina os dois casos possíveis (ser estrutural ou não).
Passo 4
Calcular
usando os números que temos.
- Substituindo:
- Calcular passo a passo:
Passo 5
Aplicar Bayes para obter
.
- Usando a fórmula:
- Numerador:
- Portanto
- Simplificando a fração:
. - Em forma decimal:
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
- O resultado indica que, apesar do teste/diagnóstico ter sensibilidade alta (
), como há muitos acidentes que não são estruturais ( ) e o procedimento erra bastante nesses não-estruturais (a sensibilidade para não-estruturais é baixa, levando alto), a probabilidade de que um diagnóstico positivo realmente corresponda a um caso estrutural fica em torno de . - Isso mostra a importância de considerar a prevalência (
) e o desempenho do diagnóstico em ambos os grupos ao interpretar um resultado positivo. Força — tá indo bem em aprender Bayes!