Problema 3 (2,0 Pontos): Depois da ocorrência de acidentes de avião, faz-se uma investigação detalhada. A probabilidade de que um acidente devido a uma falha estrutural seja corretamente identificada é de 0,9 , e a probabilidade de que um acidente que não se deva a uma falha estrutural não seja corretamente
identificado como resultante de uma falha estrutural 6 de 0,3. Se 20% de todos os acidentes aéreos sāo devidos a falhas estruturais, ache a probabilidade de um acidente aéreo resultar de uma falha estrutural dado que cle foi diagnosticado como sendo devido a falha estrutural.

Passo 1

Listar o que o enunciado dá e o que pede (vou pegar os números diretamente do enunciado).
  • Queremos a probabilidade de que um acidente seja devido a falha estrutural dado que ele foi diagnosticado como devido a falha estrutural.
  • Informação fornecida:
    • A proporção (prévia) de acidentes devidos a falhas estruturais é P(S)=0,2.
    • A probabilidade de identificar corretamente um acidente que é devido a falha estrutural é P(D\mid S)=0,9.
    • A probabilidade de que um acidente que não se deve a falha estrutural não seja corretamente identificado como resultante de falha estrutural é P(D^c\mid S^c)=0,3.
  • O enunciado pede: calcular P(S\mid D), onde:
    • S = evento “acidente é devido a falha estrutural”,
    • D = evento “acidente é diagnosticado como devido a falha estrutural”.

Passo 2

Entender e transformar as probabilidades dadas em quantidades que vamos usar.
  • Temos P(D\mid S)=0,9 já pronta.
  • Foi dada P(D^c\mid S^c)=0,3. Isso é a probabilidade de NÃO diagnosticar como falha estrutural quando de fato NÃO é falha estrutural. Logo
P(D\mid S^c)=1-P(D^c\mid S^c)=1-0,3=0,7.
  • Também sabemos P(S^c)=1-P(S)=1-0,2=0,8.
    Agora temos todas as quantidades condicionais e as priori necessárias.

Passo 3

Apresentar a ferramenta principal: Teorema de Bayes e a lei da probabilidade total.
  • O Teorema de Bayes dá a relação
P(S\mid D)=\frac{P(D\mid S)\,P(S)}{P(D)}.
  • Para aplicar precisamos de P(D). Pela lei da probabilidade total,
P(D)=P(D\mid S)\,P(S)+P(D\mid S^c)\,P(S^c).
Expliquei: P(D) é a probabilidade de um acidente ser diagnosticado como falha estrutural, e ela combina os dois casos possíveis (ser estrutural ou não).

Passo 4

Calcular P(D) usando os números que temos.
  • Substituindo:
P(D)=0,9\cdot0,2 + 0,7\cdot0,8.
  • Calcular passo a passo:
0,9\cdot0,2=0,18, \qquad 0,7\cdot0,8=0,56.
P(D)=0,18+0,56=0,74.

Passo 5

Aplicar Bayes para obter P(S\mid D).
  • Usando a fórmula:
P(S\mid D)=\frac{P(D\mid S)\,P(S)}{P(D)}=\frac{0,9\cdot0,2}{0,74}.
  • Numerador:
0,9\cdot0,2=0,18.
  • Portanto
P(S\mid D)=\frac{0,18}{0,74}.
  • Simplificando a fração: 0,18/0,74 = \dfrac{18}{74} = \dfrac{9}{37}.
  • Em forma decimal:
\dfrac{9}{37}\approx0,243243\ldots \approx0,243.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • O resultado indica que, apesar do teste/diagnóstico ter sensibilidade alta ( 0,9), como há muitos acidentes que não são estruturais ( 80\%) e o procedimento erra bastante nesses não-estruturais (a sensibilidade para não-estruturais é baixa, levando P(D\mid S^c)=0,7 alto), a probabilidade de que um diagnóstico positivo realmente corresponda a um caso estrutural fica em torno de 24{,}3\%.
  • Isso mostra a importância de considerar a prevalência ( P(S)) e o desempenho do diagnóstico em ambos os grupos ao interpretar um resultado positivo. Força — tá indo bem em aprender Bayes!

Resposta

\dfrac{9}{37}\approx0,243

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