Questão 09

Uma partícula está submetida a uma força dada pela energia potencial U(x, y)=3 x^2 y-7 x.
(i) Qual a energia no ponto (1,1) m ?
(ii) Qual é a força F(x, y) a que ela está sujeita? E o seu módulo em (0,1) m ?
R: (i) -4 J
(ii)
F(x, y)=(-6 x y+7,-3 x^2)
58^0,5 N

Passo 1

O enunciado fornece a energia potencial
U(x,y)=3x^2y-7x
e pede: (i) o valor de U no ponto (1,1) e (ii) o campo de força vec F(x,y) e seu módulo no ponto (0,1). Em mecânica clássica, a força é dada por
vec F = -nabla U = -l(partial Upartial x,,partial Upartial yr)

Passo 2

Para encontrar U(1,1), basta substituir x=1 e y=1 em U(x,y):
U(1,1)=3cdot1^2cdot1-7cdot1=3-7=-4 J

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de U:
partial Upartial x=6xy-7, partial Upartial y=3x^2
Logo o campo de força é
vec F(x,y)=-l(6xy-7,;3x^2r)=l(-6xy+7,;-3x^2r)

Passo 4

No ponto (0,1) temos
vec F(0,1)=l(-6cdot0cdot1+7,,-3cdot0^2r)=(7,0)
O módulo é
l|vec F(0,1)r|=raiz7^2+0^2=7 N

Resposta

(i) -4,J
(ii) F(x,y)=(-6xy+7,,-3x^2) e l|F(0,1)r|=7,N

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