Problema 2 ( 1,0 Ponto cada): Uma placa de aço contém 20 parafusos. Considere que os parafusos são apertados até o limite apropriado por uma máquina, porém a máquina apresenta um nível de aperto adequado para 90 \% dos parafusos. Quatro parafusos são selecionados ao acaso para inspeção. Se 1 parafuso apresentar nível de aperto inapropriado a placa é submetida para aperto na máquina novamente e se a placa apresentar mais que 1 parafuso com aperto inapropriado seus 20 parafusos são inspecionados manualmente.
Qual a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto novamente em uma máquina?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A placa tem 20 parafusos.
  • A máquina aperta corretamente 90\% dos parafusos, ou seja, a probabilidade de um parafuso estar corretamente apertado é 0,9.
  • Logo, a probabilidade de um parafuso estar com aperto inapropriado é 0,1.
  • São selecionados ao acaso 4 parafusos para inspeção.
  • Regra do procedimento:
    • Se exatamente 1 parafuso dos 4 estiver com aperto inapropriado, a placa é submetida ao aperto novamente pela máquina.
    • Se mais de 1 (ou seja, \ge 2) estiverem inapropriados, os 20 parafusos são inspecionados manualmente.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto novamente na máquina? (ou seja, qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 parafuso inapropriado entre os 4 inspecionados).

Passo 2

Decidir o modelo probabilístico adequado e justificar (mínimo de teoria, passo a passo).
  • Cada parafuso, ao ser produzido/apertado pela máquina, tem probabilidade 0,1 de estar inapropriado, independentemente dos outros (assumimos independência razoável aqui porque a máquina age separadamente em cada parafuso).
  • Ao escolher 4 parafusos ao acaso, estamos observando 4 ensaios independentes com sucesso = “parafuso inapropriado” ocorrendo com probabilidade p=0,1.
  • Esse cenário é o clássico da distribuição binomial: número de sucessos em n ensaios independentes, cada um com mesma probabilidade p.
  • Assim, se X é o número de parafusos inapropriados entre os 4, então X \sim Binomial (n=4,p=0,1).
  • Queremos P(X=1).

Passo 3

Apresentar a fórmula da distribuição binomial e explicar cada termo.
  • Fórmula (modo padrão):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde:
  • n é o número de ensaios (aqui n=4);
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=1);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,1);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, o número de maneiras distintas de escolher quais k ensaios (dos n) serão os sucessos. Por exemplo,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso e calcular passo a passo.
  • Substituindo n=4, k=1, p=0,1:
P(X=1)=\binom{4}{1}\,(0,1)^{1}\,(1-0,1)^{4-1}.
  • Calcular cada parte:
    • \displaystyle \binom{4}{1}=4 (há 4 maneiras de escolher qual dos 4 parafusos será o inapropriado).
    • (0,1)^{1}=0,1.
    • 1-0,1=0,9, então (0,9)^{3}. Calcular:
      • (0,9)^{2}=0,81.
      • (0,9)^{3}=0,81\times0,9=0,729.
  • Agora multiplicar tudo:
    • Primeiro 0,1\times0,729=0,0729.
    • Depois 4\times0,0729=0,2916.

Passo 5

Interpretação final e incentivo rápido.
  • A probabilidade de exatamente um dos quatro parafusos inspecionados estar inapropriado — e, portanto, de a placa ser submetida novamente ao aperto pela máquina — é 0,2916.
  • Em palavras: cerca de 29{,}16\%. Fica tranquilo: calcular binomial assim é direto — é só lembrar da fórmula, interpretar n,p,k e fazer as potências e multiplicações.

Resposta

0,2916

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