Problema 2 ( 1,0 Ponto cada): Uma placa de aço contém 20 parafusos. Considere que os parafusos são apertados até o limite apropriado por uma máquina, porém a máquina apresenta um nível de aperto adequado para
dos parafusos. Quatro parafusos são selecionados ao acaso para inspeção. Se 1 parafuso apresentar nível de aperto inapropriado a placa é submetida para aperto na máquina novamente e se a placa apresentar mais que 1 parafuso com aperto inapropriado seus 20 parafusos são inspecionados manualmente.
Qual a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto novamente em uma máquina?
Qual a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto novamente em uma máquina?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A placa tem
parafusos. - A máquina aperta corretamente
dos parafusos, ou seja, a probabilidade de um parafuso estar corretamente apertado é . - Logo, a probabilidade de um parafuso estar com aperto inapropriado é
. - São selecionados ao acaso
parafusos para inspeção. - Regra do procedimento:
- Se exatamente
parafuso dos estiver com aperto inapropriado, a placa é submetida ao aperto novamente pela máquina. - Se mais de
(ou seja, ) estiverem inapropriados, os parafusos são inspecionados manualmente.
- Se exatamente
- A pergunta: qual é a probabilidade de uma placa qualquer ser submetida ao aperto novamente na máquina? (ou seja, qual a probabilidade de ocorrer exatamente
parafuso inapropriado entre os inspecionados).
Passo 2
Decidir o modelo probabilístico adequado e justificar (mínimo de teoria, passo a passo).
- Cada parafuso, ao ser produzido/apertado pela máquina, tem probabilidade
de estar inapropriado, independentemente dos outros (assumimos independência razoável aqui porque a máquina age separadamente em cada parafuso). - Ao escolher
parafusos ao acaso, estamos observando ensaios independentes com sucesso = “parafuso inapropriado” ocorrendo com probabilidade . - Esse cenário é o clássico da distribuição binomial: número de sucessos em
ensaios independentes, cada um com mesma probabilidade . - Assim, se
é o número de parafusos inapropriados entre os , então Binomial . - Queremos
.
Passo 3
Apresentar a fórmula da distribuição binomial e explicar cada termo.
- Fórmula (modo padrão):
onde:
-
é o número de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos que queremos (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ); -
é o coeficiente binomial, o número de maneiras distintas de escolher quais ensaios (dos ) serão os sucessos. Por exemplo,
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso e calcular passo a passo.
- Substituindo
, , :
- Calcular cada parte:
-
(há 4 maneiras de escolher qual dos 4 parafusos será o inapropriado). -
. -
, então . Calcular: -
. -
.
-
-
- Agora multiplicar tudo:
- Primeiro
. - Depois
.
- Primeiro
Passo 5
Interpretação final e incentivo rápido.
- A probabilidade de exatamente um dos quatro parafusos inspecionados estar inapropriado — e, portanto, de a placa ser submetida novamente ao aperto pela máquina — é
. - Em palavras: cerca de
. Fica tranquilo: calcular binomial assim é direto — é só lembrar da fórmula, interpretar e fazer as potências e multiplicações.