Problema prático 3.7
Encontre uma expressão para o conjugado de um sistema simétrico de dois enrolamentos cujas indutâncias variam conforme
& L11=L22=0,8+0,27 cos 4 theta & L12=0,65 cos 2 theta
dada a condição de que i1=-i2=0,37 A.
Solução
Tcmp=-0,148 sen(4 theta)+0,178 sen(2 theta)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de duas bobinas simétricas cujoas indutâncias dependem do ângulo theta:
L11=L22=0,8+0,27cos(4theta), L12=0,65cos(2theta)
e pede-se a expressão do conjugado eletromagnético (torque) Tcmp quando as correntes satisfazem i1=-i2=0,37 A.

Passo 2

A teoria nos diz que o torque num sistema de múltiplos enrolamentos é dado por
T=12sumj,kij,ik,dLjkdtheta
Para dois enrolamentos isso vira
T=12l(i1^2,tfracdL11dtheta +2,i1i2,tfracdL12dtheta +i2^2,tfracdL22dthetar)

Passo 3

Como L11=L22 e i2=-i1, temos i1^2=i2^2 e 2,i1i2=-2,i1^2. Substituindo na fórmula:
T =12l(2,i1^2,tfracdL11dtheta -2,i1^2,tfracdL12dthetar) =i1^2l(tfracdL11dtheta-tfracdL12dthetar)

Passo 4

Calculamos as derivadas:
tfracdL11dtheta =tfracddthetal(0,8+0,27cos(4theta)r) =-1,08,sin(4theta),
tfracdL12dtheta =tfracddthetal(0,65cos(2theta)r) =-1,30,sin(2theta)

Passo 5

Substituindo em
T=i1^2l(-1,08sin(4theta)+1,30sin(2theta)r)
e usando i1=0,37, ou seja i1^2=0,37^2=0,1369, obtemos
T =0,1369l(-1,08sin(4theta)+1,30sin(2theta)r) =-0,148,sin(4theta)+0,178,sin(2theta)

Resposta

Tcmp=-0,148;sen(4theta)+0,178;sen(2theta)

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