3.11 No seu intervalo normal de funcionamento, a indutância do atuador de uma campainha elétrica é medida como sendo da forma
L(x)=L0(x / X0)^2
na faixa de funcionamento 0,5 X0 <= x <= 2 X0.
a. Encontre a energia magnética armazenada Wcmp(lambda, x).
b. Encontre uma expressão para a força do atuador em função de lambda e x.
c. Encontre uma expressão para a força em função de x assumindo que a corrente do atuador é mantida constante em i=I0. A força atua no sentido de aumentar ou diminuir x ?

Passo 1

O enunciado trata de um atuador cujo valor da indutância varia com a posição x segundo
L(x)=L0(x/X0)^2=L0X0^2x^2
para 0,5X0<= x<=2X0. Precisamos
  1. obter a energia magnética (coenergia) Wcmp(lambda,x),
  2. achar a força eletromagnética em função de lambda e x usando derivada da energia a fluxo constante,
  3. expressar a força para corrente mantida constante i=I0 e dizer se ela tende a aumentar ou diminuir x.

Passo 2

Em um indutor variável, a coenergia é
Wcmp(lambda,x);=;integral0^lambdai(lambda',x),dlambda'
e como lambda=L(x),i temos i=lambda'/L(x). Logo
Wcmp(lambda,x) =integral0^lambdalambda'L(x),dlambda' =1L(x);lambda^22 =lambda^22,L(x)
Substituindo L(x)=L0X0^2/x^2 vem
Wcmp(lambda,x) =lambda^22;x^2L0X0^2 =lambda^2,x^22,L0X0^2

Passo 3

A força eletromagnética a fluxo ( lambda) constante é
F(lambda,x) =partial Wcmppartial xvertlambda =partialpartial x!l(lambda^2x^22,L0X0^2r) =lambda^22,L0X0^2;2x =lambda^2,xL0X0^2

Passo 4

Para corrente constante usamos
F=12,i^2,dLdx
Como L(x)=L0X0^2x^-2,
dLdx =-2,L0X0^2,x^-3,
então, para i=I0,
F(x) =12,I0^2,l(-2,L0X0^2x^-3r) =-I0^2,L0X0^2x^3
O sinal negativo indica que a força atua no sentido de diminuir x.

Resposta

a. Wcmp(lambda,x)=lambda^2,x^22,L0X0^2
b. F(lambda,x)=lambda^2,xL0X0^2
c. F(x)=-I0^2,L0X0^2x^3, ou seja, a força puxa o atuador reduzindo x.

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