Problema 9: Um processo de produção fabrica rolamentos com 2 \% de defeituosos. Suponha que este valor permaneça inalterado e que foi extraído, de um lote deste processo com 100000 rolamentos, uma amostra aleatória simples com n=100 rolamentos. Seja X_{i}: O rolamento i está fora do padrão, i=1, \ldots, 100. Considerando que o lote é vendido por \mathrm{R} \ 100000,00$ caso tenha 3 ou menos rolamentos defeituosos na amostra e por RS 200000 caso contrário. Calcule:
a) (1,5 Pontos) A probabilidade: P(\hat{p}<0,03), onde \hat{p}=\frac{\sum_{i=1}^{100} X_{i}}{n}.
b) ( 0,5 Pontos) O valor médio de venda do lote.

Passo 1

O enunciado dá um processo com proporção real de defeituosos 2\%\). Foi retirada uma amostra aleatória simples de \(n=100\) rolamentos. Definimos para cada \(i\) a variável \[X_i = \begin{cases} 1, & \text{o rolamento \(i está fora do padrão (defeituoso)},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
O enunciado pede:
  • (a) calcular \;P\big(\hat{p}<0,03\big), onde \hat{p}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{100} X_i.
  • (b) calcular o valor médio (esperado) de venda do lote, sabendo que o lote vale R\$\,100000,00 se a amostra tem 3 ou menos defeituosos, e vale R\$\,200000,00 caso contrário.
Informações relevantes listadas:
  • Proporção verdadeira de defeituosos: p=0,02.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Evento de interesse para (a): \hat{p}<0,03.
  • Regras de venda para (b): preço é R\$\,100000,00 se número de defeituosos na amostra \le 3, e R\$\,200000,00 se \ge 4.

Passo 2

Escolha do modelo probabilístico e justificativa (parte didática):
  • Cada X_i é indicadora de defeito, ou seja, \;X_i\sim Bernoulli (p) com p=0,02.
  • A soma X=\sum_{i=1}^{100} X_i conta o número de defeituosos na amostra. Para amostragem simples sem reposição a partir de um lote finito isso seria hipergeométrico, mas aqui a população é muito grande ( N=100000) comparada à amostra ( n=100), então o efeito da retirada sem reposição é desprezível. Assim, é adequado modelar X por uma Binomial:
X \sim \mathrm{Bin}\big(n=100,\;p=0,02\big).
  • Fórmula da probabilidade binomial (explicando as partes): para k=0,1,\dots,100,
P(X=k)=\binom{100}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{100-k},
onde \binom{100}{k} é o número de modos de escolher quais k observações são defeituosas, p^{k} é a probabilidade de essas k serem defeituosas, e (1-p)^{100-k} é a probabilidade das restantes não serem defeituosas.

Passo 3

Tradução do evento \hat{p}<0,03 em termo de X:
\hat{p}=\frac{X}{100}<0,03 \quad\Longleftrightarrow\quad X<3.
Como X é inteiro, isto significa X\in\{0,1,2\}. Logo
P\big(\hat{p}<0,03\big)=P(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2} \binom{100}{k}\,0,02^{k}\,0,98^{100-k}.

Passo 4

Cálculo das probabilidades individuais (mostrar passo a passo para poder calcular na prova sem calculadora com aproximações):
  • Primeiro calcule P(X=0)=0,98^{100}.
    Usando \ln(0,98)\approx-0,0202027 0,98^{100}\approx e^{-2,0202707}\approx 0,132619.
    Assim P(X=0)\approx 0,132619.
  • Para P(X=1) pode-se usar relação direta: P(X=1)=100\cdot 0,02\cdot 0,98^{99}=2\cdot 0,98^{99}=\frac{2}{0,98}\,0,98^{100}.Numericamente, P(X=1)\approx \frac{2}{0,98}\cdot 0,132619\approx 0,270672.
  • Para P(X=2): P(X=2)=\binom{100}{2}0,02^{2}0,98^{98}=4950\cdot 0,0004\cdot 0,98^{98}.Usando 0,98^{98}=0,98^{100}/0,98^{2} e fazendo as contas obtém-se P(X=2)\approx 0,273528.
(Observação didática: também se pode usar a relação recursiva
P_{k+1}=P_k\cdot\frac{100-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
útil para calcular sucessivos P_k sem recomputar binomiais.)

Passo 5

Somando para obter a probabilidade pedida (final da parte a):
P\big(\hat{p}<0,03\big)=P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0,132619+0,270672+0,273528.
Fazendo a soma:
P\big(\hat{p}<0,03\big)\approx 0,676819\approx 0,67682.

Passo 6

Cálculo do valor médio de venda do lote (parte b), com explicação:
  • Seja V o valor de venda. V é uma variável aleatória que vale R\$\,100000 quando X\le 3 e R\$\,200000 quando X\ge 4.
  • O valor esperado é
\mathbb{E}[V]=100000\cdot P(X\le 3)+200000\cdot P(X\ge 4).
  • Reescrevendo,
\mathbb{E}[V]=200000 -100000\cdot P(X\le 3).
Portanto precisamos de P(X\le 3)=P(X\le 2)+P(X=3). Já temos P(X\le 2)\approx 0,676819. Calcule P(X=3) usando a relação recursiva a partir de P(X=2):
P(X=3)=P(X=2)\cdot\frac{100-2}{3}\cdot\frac{0,02}{0,98}.
Note que \dfrac{0,02}{0,98}=\dfrac{1}{49} e \dfrac{98}{3}\cdot\dfrac{1}{49}=\dfrac{2}{3}. Assim
P(X=3)=P(X=2)\cdot \frac{2}{3}\approx 0,273528\cdot\frac{2}{3}\approx 0,182352.
  • Logo
P(X\le 3)=0,676819+0,182352\approx 0,859171.
  • Finalmente
\mathbb{E}[V]=200000 -100000\cdot 0,859171\approx 200000 -85917,1 \approx 114082,9.
Ou seja, o valor médio de venda do lote é aproximadamente R\$\,114082,90.

Resposta

(a) P(\hat{p}<0,03)\approx 0,67682
(b) Valor médio de venda \mathbb{E}[V]\approx R\$\,114082,90

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