Problema 9: Um processo de produção fabrica rolamentos com
de defeituosos. Suponha que este valor permaneça inalterado e que foi extraído, de um lote deste processo com 100000 rolamentos, uma amostra aleatória simples com
rolamentos. Seja
rolamento
está fora do padrão,
. Considerando que o lote é vendido por
100000,00$ caso tenha 3 ou menos rolamentos defeituosos na amostra e por RS 200000 caso contrário. Calcule:
a) (1,5 Pontos) A probabilidade:
, onde
.
b) ( 0,5 Pontos) O valor médio de venda do lote.
a) (1,5 Pontos) A probabilidade:
b) ( 0,5 Pontos) O valor médio de venda do lote.
Passo 1
O enunciado dá um processo com proporção real de defeituosos
está fora do padrão (defeituoso)},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
O enunciado pede:
- (a) calcular
, onde . - (b) calcular o valor médio (esperado) de venda do lote, sabendo que o lote vale
se a amostra tem 3 ou menos defeituosos, e vale caso contrário.
Informações relevantes listadas:
- Proporção verdadeira de defeituosos:
. - Tamanho da amostra:
. - Evento de interesse para (a):
. - Regras de venda para (b): preço é
se número de defeituosos na amostra , e se .
Passo 2
Escolha do modelo probabilístico e justificativa (parte didática):
- Cada
é indicadora de defeito, ou seja, Bernoulli com . - A soma
conta o número de defeituosos na amostra. Para amostragem simples sem reposição a partir de um lote finito isso seria hipergeométrico, mas aqui a população é muito grande ( ) comparada à amostra ( ), então o efeito da retirada sem reposição é desprezível. Assim, é adequado modelar por uma Binomial:
- Fórmula da probabilidade binomial (explicando as partes): para
,
onde
é o número de modos de escolher quais
observações são defeituosas,
é a probabilidade de essas
serem defeituosas, e
é a probabilidade das restantes não serem defeituosas.
Passo 3
Tradução do evento
em termo de
:
Como
é inteiro, isto significa
. Logo
Passo 4
Cálculo das probabilidades individuais (mostrar passo a passo para poder calcular na prova sem calculadora com aproximações):
- Primeiro calcule
.
Usandodá .
Assim - Para
pode-se usar relação direta: Numericamente, - Para
: Usando e fazendo as contas obtém-se
(Observação didática: também se pode usar a relação recursiva
útil para calcular sucessivos
sem recomputar binomiais.)
Passo 5
Somando para obter a probabilidade pedida (final da parte a):
Fazendo a soma:
Passo 6
Cálculo do valor médio de venda do lote (parte b), com explicação:
- Seja
o valor de venda. é uma variável aleatória que vale quando e quando . - O valor esperado é
- Reescrevendo,
Portanto precisamos de
. Já temos
. Calcule
usando a relação recursiva a partir de
:
Note que
e
. Assim
- Logo
- Finalmente
Ou seja, o valor médio de venda do lote é aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b) Valor médio de venda
(b) Valor médio de venda