Problema 8 (1,0 Ponto cada): Em uma empresa de distribuição chegam caminhões para carregamento e em um dia normal ela atende em média 3 caminhões. A empresa tem capacidade para receber até 6 caminhões. Com base nestes dados, calcule:
Considerando que em um dia atípico se chega em média o dobro de caminhões, qual a probabilidade de ela não conseguir atender todos os caminhões?
Considerando que em um dia atípico se chega em média o dobro de caminhões, qual a probabilidade de ela não conseguir atender todos os caminhões?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Em um dia normal chegam, em média,
caminhões. - A empresa tem capacidade para receber até
caminhões (ou seja, se chegam mais de ela não consegue atender todos). - Num dia atípico chega em média o dobro de caminhões em relação ao normal. Portanto a média no dia atípico é
.
O que se pede: calcular a probabilidade de a empresa não conseguir atender todos os caminhões em um dia atípico (ou seja, a probabilidade de chegarem mais decaminhões nesse dia).
Passo 2
Modelo adequado e definição das variáveis (explicação didática)
- Para chegadas de veículos em um intervalo de tempo (como “por dia”), quando as chegadas são raras, independentes e a taxa média é conhecida, um modelo padrão é a distribuição de Poisson. É o modelo que usaremos.
- Definição: seja
o número de caminhões que chegam no dia atípico. Modelamos por uma Poisson com parâmetro , onde é a média (esperança) do número de chegadas. - No nosso caso, no dia atípico a média é
. Assim Poisson . - A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é
onde:
-
é a média (aqui ); -
é o número de ocorrências (número de caminhões); -
é o fatorial de (por exemplo ).
Passo 3
Expressar a probabilidade pedida em termos de
- A empresa não consegue atender todos os caminhões quando chegam mais de
caminhões, isto é, quando ocorre o evento . - A probabilidade procurada é
Passo 4
Escrever a soma explícita usando a fórmula da Poisson
Vamos calcular os termos
para
. Primeiro, anotar
(valor numérico aproximado):
Passo 5
Calcular cada probabilidade individualmente (mostrando como obter cada termo)
(Observação prática: para
nota-se que
por razões algébricas simples.)
Passo 6
Somar as probabilidades até
e calcular o complemento
- Soma dos termos de
até :
- Somando (com aproximação) obtemos
- Portanto
Passo 7
Interpretação final e arredondamento
- A probabilidade de não conseguir atender todos os caminhões num dia atípico (média
) é aproximadamente , isto é, cerca de . - Intuição: com média igual à capacidade (
e capacidade ), existe uma chance razoável (próxima de ) de que o número exceda a capacidade em um dia.