Problema 8 (1,0 Ponto cada): Em uma empresa de distribuição chegam caminhões para carregamento e em um dia normal ela atende em média 3 caminhões. A empresa tem capacidade para receber até 6 caminhões. Com base nestes dados, calcule:
Considerando que em um dia atípico se chega em média o dobro de caminhões, qual a probabilidade de ela não conseguir atender todos os caminhões?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Em um dia normal chegam, em média, 3 caminhões.
  • A empresa tem capacidade para receber até 6 caminhões (ou seja, se chegam mais de 6 ela não consegue atender todos).
  • Num dia atípico chega em média o dobro de caminhões em relação ao normal. Portanto a média no dia atípico é 2\times 3=6.
    O que se pede: calcular a probabilidade de a empresa não conseguir atender todos os caminhões em um dia atípico (ou seja, a probabilidade de chegarem mais de 6 caminhões nesse dia).

Passo 2

Modelo adequado e definição das variáveis (explicação didática)
  • Para chegadas de veículos em um intervalo de tempo (como “por dia”), quando as chegadas são raras, independentes e a taxa média é conhecida, um modelo padrão é a distribuição de Poisson. É o modelo que usaremos.
  • Definição: seja X o número de caminhões que chegam no dia atípico. Modelamos X por uma Poisson com parâmetro \lambda, onde \lambda é a média (esperança) do número de chegadas.
  • No nosso caso, no dia atípico a média é \lambda=6. Assim X\sim Poisson (6).
  • A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
onde:
  • \lambda é a média (aqui \lambda=6);
  • k é o número de ocorrências (número de caminhões);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=3\cdot2\cdot1=6).

Passo 3

Expressar a probabilidade pedida em termos de X
  • A empresa não consegue atender todos os caminhões quando chegam mais de 6 caminhões, isto é, quando ocorre o evento \{X>6\}.
  • A probabilidade procurada é
\Pr(X>6)=1-\Pr(X\le 6)=1-\sum_{k=0}^{6}\Pr(X=k).

Passo 4

Escrever a soma explícita usando a fórmula da Poisson
\Pr(X>6)=1-\sum_{k=0}^{6} e^{-6}\frac{6^{k}}{k!}.
Vamos calcular os termos \Pr(X=k)=e^{-6}\dfrac{6^{k}}{k!} para k=0,1,\dots,6. Primeiro, anotar e^{-6} (valor numérico aproximado):
e^{-6}\approx 0{,}0024787521766663585.

Passo 5

Calcular cada probabilidade individualmente (mostrando como obter cada termo)
  • k=0:
\Pr(X=0)=e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}\cdot 1 \approx 0{,}0024787521766663585.
  • k=1:
\Pr(X=1)=e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=6e^{-6}\approx 0{,}014872513059998151.
  • k=2:
\Pr(X=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}=18e^{-6}\approx 0{,}04461753917999447.
  • k=3:
\Pr(X=3)=e^{-6}\frac{6^{3}}{3!}=36e^{-6}\approx 0{,}08923507835998894.
  • k=4:
\Pr(X=4)=e^{-6}\frac{6^{4}}{4!}=54e^{-6}\approx 0{,}13385261753998336.
  • k=5:
\Pr(X=5)=e^{-6}\frac{6^{5}}{5!}=64{,}8\,e^{-6}\approx 0{,}16062314104799852.
  • k=6:
\Pr(X=6)=e^{-6}\frac{6^{6}}{6!}=64{,}8\,e^{-6}\approx 0{,}16062314104799852.
(Observação prática: para \lambda=6 nota-se que \Pr(X=5)=\Pr(X=6) por razões algébricas simples.)

Passo 6

Somar as probabilidades até k=6 e calcular o complemento
  • Soma dos termos de k=0 até 6:
\Pr(X\le6)\approx 0{,}0024787521766663585+0{,}014872513059998151+0{,}04461753917999447+0{,}08923507835998894+0{,}13385261753998336+0{,}16062314104799852+0{,}16062314104799852.
  • Somando (com aproximação) obtemos
\Pr(X\le6)\approx 0{,}6063027824126283.
  • Portanto
\Pr(X>6)=1-\Pr(X\le6)\approx 1-0{,}6063027824126283\approx 0{,}3936972175873717.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento
  • A probabilidade de não conseguir atender todos os caminhões num dia atípico (média 6) é aproximadamente 0{,}3937, isto é, cerca de 39{,}37\%.
  • Intuição: com média igual à capacidade ( \lambda=6 e capacidade 6), existe uma chance razoável (próxima de 40\%) de que o número exceda a capacidade em um dia.

Resposta

1-\sum_{k=0}^{6} e^{-6}\frac{6^{k}}{k!}\approx 0{,}3937

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