*Problema 2.1 Prove os três teoremas a seguir:
A função de onda independente do tempo
sempre pode ser considerada real (diferentemente de
, que é necessariamente complexa). Isso não significa que toda soluçāo para a equaçāo de Schrödinger independente do tempo é real, mas, sim, que se vocẽ obtém uma solução que não é real, ela pode ser sempre expressa como uma combinação linear de soluções (com a mesma energia) que o são. Assim, você pode manter as ψ que são reais. Dica: se
satisfaz a Equação 2.5 para dada
, então o seu complexo conjugado também a satisfaz e, portanto, também as combinações lineares reais
e
.
A função de onda independente do tempo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada uma função de onda independente do tempo
que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo (Equação 2.5) para certa energia . - Informação implícita necessária: o potencial
é real e é real (valores próprios de Hamiltonianos hermitianos são reais). - O que pede: provar que, mesmo que alguma solução
seja complexa, sempre se pode escolher uma solução equivalente (ou uma combinação linear de soluções com a mesma energia) que seja real. Em outras palavras: qualquer solução de energia fixa pode ser expressa como combinação linear de soluções reais, de modo que podemos escolher as funções de onda reais.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo explicitamente e tomando o conjugado complexo.
- A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão vale:
Aqui
é a constante reduzida de Planck,
a massa,
o potencial (assumido real),
a energia (número real) e
a função de onda, possivelmente complexa.
- Tome o conjugado complexo de toda a equação. Operações diferenciais e multiplicações por funções reais comutam com conjugação, e como
e são reais temos
Portanto
também satisfaz a mesma equação com a mesma energia
.
Passo 3
Linearidade da equação e construção de combinações reais.
-
A equação de Schrödinger independente do tempo é linear: se
e satisfazem e , então para quaisquer escalares temos . Logo combinações lineares de soluções com a mesma energia são soluções com essa energia. -
A partir de
e de (que são soluções com mesma ), podemos formar suas partes real e imaginária, que são combinações lineares com coeficientes reais. Defina
- Observações:
-
é a parte real de e satisfaz , logo é uma função real. -
é a parte imaginária de e satisfaz , logo também é uma função real. - Como combinações lineares (com coeficientes reais) de soluções com mesma energia, tanto
quanto satisfazem a equação de Schrödinger com a mesma energia .
-
Portanto, a partir de qualquer solução complexa
obtemos duas soluções reais (possivelmente uma delas nula):
e
.
Passo 4
Casos especiais e como obter uma única solução real quando as combinações acima são triviais.
-
Caso 1: Se pelo menos uma entre
ou for não-nula, então já temos uma solução real não-trivial com a mesma energia — ou duas soluções reais linearmente independentes (se ambas não-nulas). Assim pode-se escolher funções de onda reais. -
Caso 2: Se tanto
quanto forem identicamente zero, então trivialmente (a solução zero). Mas a situação relevante é quando uma das partes é zero e a outra também é trivialmente proporcional a . Mais importante é a possibilidade de que seja proporcional a :
para alguma constante complexa
. Mostramos que nesse caso
tem módulo unitário e a fase de
é constante em
, de modo que
é um fator de fase global multiplicando uma função real.
- Detalhe: se
, tomando módulo em ambos os lados obtemos e portanto , logo para algum real. Escrevendo (com real), a igualdade dá
Isto implica
constante (independente de
), ou seja, a fase de
é apenas uma fase global. Então
com
real, e multiplicando
por
obtemos a função real
. Portanto mesmo nesse caso pode-se escolher a função de onda real, apenas removendo a fase global.
Passo 5
Conclusão final e interpretação prática (como agir na prova).
- Resumo das ideias-chave que se usam na prova:
- A equação de Schrödinger independente do tempo tem coeficientes reais quando
é real; por isso, se é solução então também é solução. - Por linearidade, combinações lineares (com coeficientes reais) de
e são soluções com a mesma energia. - As combinações
e são reais e satisfazem a equação; se uma delas for não-nula já temos uma solução real. Se ambas são nulas, é a solução zero; se é proporcional a então a fase de é global e pode ser removida por multiplicação por um fator de fase, tornando a função real.
- A equação de Schrödinger independente do tempo tem coeficientes reais quando
- Assim, em qualquer caso não-trivial pode-se escolher a função de onda independente do tempo
real ou expressar qualquer solução complexa como combinação linear de soluções reais com a mesma energia.
Resposta
Qualquer solução
pode ser escrita em termos das soluções reais
e
, que satisfazem a mesma equação de Schrödinger com a mesma energia; se
for proporcional a
então a fase é global e pode ser removida, tornando
real. Portanto pode-se sempre escolher
real.