*Problema 2.1 Prove os três teoremas a seguir:
A função de onda independente do tempo \psi(x) sempre pode ser considerada real (diferentemente de \Psi(x, t), que é necessariamente complexa). Isso não significa que toda soluçāo para a equaçāo de Schrödinger independente do tempo é real, mas, sim, que se vocẽ obtém uma solução que não é real, ela pode ser sempre expressa como uma combinação linear de soluções (com a mesma energia) que o são. Assim, você pode manter as ψ que são reais. Dica: se \psi(x) satisfaz a Equação 2.5 para dada E, então o seu complexo conjugado também a satisfaz e, portanto, também as combinações lineares reais \left(\psi+\psi^{*}\right) e i\left(\psi-\psi^{*}\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada uma função de onda independente do tempo \psi(x) que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo (Equação 2.5) para certa energia E.
  • Informação implícita necessária: o potencial V(x) é real e E é real (valores próprios de Hamiltonianos hermitianos são reais).
  • O que pede: provar que, mesmo que alguma solução \psi(x) seja complexa, sempre se pode escolher uma solução equivalente (ou uma combinação linear de soluções com a mesma energia) que seja real. Em outras palavras: qualquer solução de energia fixa pode ser expressa como combinação linear de soluções reais, de modo que podemos escolher as funções de onda \psi(x) reais.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo explicitamente e tomando o conjugado complexo.
  • A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão vale:
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Aqui \hbar é a constante reduzida de Planck, m a massa, V(x) o potencial (assumido real), E a energia (número real) e \psi(x) a função de onda, possivelmente complexa.
  • Tome o conjugado complexo de toda a equação. Operações diferenciais e multiplicações por funções reais comutam com conjugação, e como V(x) e E são reais temos
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi^*(x)+V(x)\psi^*(x)=E\psi^*(x).
Portanto \psi^*(x) também satisfaz a mesma equação com a mesma energia E.

Passo 3

Linearidade da equação e construção de combinações reais.
  • A equação de Schrödinger independente do tempo é linear: se u(x) e v(x) satisfazem H u = E u e H v = E v, então para quaisquer escalares a,b temos H(au+bv)=aE u + bE v = E(au+bv). Logo combinações lineares de soluções com a mesma energia são soluções com essa energia.
  • A partir de \psi(x) e de \psi^*(x) (que são soluções com mesma E), podemos formar suas partes real e imaginária, que são combinações lineares com coeficientes reais. Defina
\psi_R(x)=\frac{\psi(x)+\psi^*(x)}{2}\qquad\text{e}\qquad \psi_I(x)=\frac{\psi(x)-\psi^*(x)}{2i}.
  • Observações:
    • \psi_R(x) é a parte real de \psi e satisfaz \psi_R(x)^*=\psi_R(x), logo é uma função real.
    • \psi_I(x) é a parte imaginária de \psi e satisfaz \psi_I(x)^*=\psi_I(x), logo também é uma função real.
    • Como combinações lineares (com coeficientes reais) de soluções com mesma energia, tanto \psi_R quanto \psi_I satisfazem a equação de Schrödinger com a mesma energia E.
Portanto, a partir de qualquer solução complexa \psi obtemos duas soluções reais (possivelmente uma delas nula): \psi_R e \psi_I.

Passo 4

Casos especiais e como obter uma única solução real quando as combinações acima são triviais.
  • Caso 1: Se pelo menos uma entre \psi_R ou \psi_I for não-nula, então já temos uma solução real não-trivial com a mesma energia — ou duas soluções reais linearmente independentes (se ambas não-nulas). Assim pode-se escolher funções de onda reais.
  • Caso 2: Se tanto \psi_R quanto \psi_I forem identicamente zero, então \psi(x)=0 trivialmente (a solução zero). Mas a situação relevante é quando uma das partes é zero e a outra também é trivialmente proporcional a \psi. Mais importante é a possibilidade de que \psi^*(x) seja proporcional a \psi(x):
\psi^*(x)=\lambda\,\psi(x)
para alguma constante complexa \lambda. Mostramos que nesse caso \lambda tem módulo unitário e a fase de \psi é constante em x, de modo que \psi é um fator de fase global multiplicando uma função real.
  • Detalhe: se \psi^*=\lambda\psi, tomando módulo em ambos os lados obtemos |\psi|=|\lambda||\psi| e portanto |\lambda|=1, logo \lambda=e^{i\theta} para algum \theta real. Escrevendo \psi(x)=r(x)e^{i s(x)} (com r(x)\ge0 real), a igualdade \psi^*(x)=e^{i\theta}\psi(x)
r(x)e^{-i s(x)}=e^{i\theta} r(x)e^{i s(x)}\quad\Rightarrow\quad e^{-2i s(x)}=e^{i\theta}.
Isto implica s(x) constante (independente de x), ou seja, a fase de \psi é apenas uma fase global. Então \psi(x)=e^{i s_0}r(x) com r(x) real, e multiplicando \psi por e^{-i s_0} obtemos a função real r(x). Portanto mesmo nesse caso pode-se escolher a função de onda real, apenas removendo a fase global.

Passo 5

Conclusão final e interpretação prática (como agir na prova).
  • Resumo das ideias-chave que se usam na prova:
    1. A equação de Schrödinger independente do tempo tem coeficientes reais quando V(x) é real; por isso, se \psi é solução então \psi^* também é solução.
    2. Por linearidade, combinações lineares (com coeficientes reais) de \psi e \psi^* são soluções com a mesma energia.
    3. As combinações \psi_R=(\psi+\psi^*)/2 e \psi_I=(\psi-\psi^*)/(2i) são reais e satisfazem a equação; se uma delas for não-nula já temos uma solução real. Se ambas são nulas, \psi é a solução zero; se \psi^* é proporcional a \psi então a fase de \psi é global e pode ser removida por multiplicação por um fator de fase, tornando a função real.
  • Assim, em qualquer caso não-trivial pode-se escolher a função de onda independente do tempo \psi(x) real ou expressar qualquer solução complexa como combinação linear de soluções reais com a mesma energia.

Resposta

Qualquer solução \psi(x) pode ser escrita em termos das soluções reais
\displaystyle \psi_R(x)=\frac{\psi(x)+\psi^*(x)}{2} e \displaystyle \psi_I(x)=\frac{\psi(x)-\psi^*(x)}{2i}, que satisfazem a mesma equação de Schrödinger com a mesma energia; se \psi^* for proporcional a \psi então a fase é global e pode ser removida, tornando \psi real. Portanto pode-se sempre escolher \psi(x) real.

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