*Problema 2.1 Prove os três teoremas a seguir:
Para soluções normalizáveis, a constante da separaçāo E deve ser real. Dica: escreva E (na Equação 2.7) como E_{0}+i \Gamma (com E_{0} e \Gamma reais) e demonstre que se a Equação 1.20 é válida para todos os t, então \Gamma deve ser zero.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Foi feita a separação de variáveis na equação de onda/Schrödinger e apareceu uma constante de separação chamada E (referida na Equação 2.7 do enunciado).
  • Também temos a condição de normalização/probabilidade válida para todos os tempos (referida como Equação 1.20): a probabilidade total é finita e constante no tempo.
  • O pedido é: provar que, para soluções normalizáveis, a constante de separação E deve ser um número real.
Vou usar a dica: escrever E como E=E_{0}+i\Gamma com E_{0} e \Gamma reais, e mostrar que a exigência de normalização para todo t força \Gamma=0.

Passo 2

Recordando a equação temporal obtida pela separação de variáveis e como se resolve (passo a passo, sem pular nada).
Ao separar variáveis normalmente obtemos uma equação do tipo
i\hbar\,\frac{1}{f(t)}\frac{df}{dt}=E,
onde f(t) é a parte temporal da solução separada \Psi(x,t)=\psi(x)\,f(t). Esta é uma equação diferencial ordinária simples para f(t). Reescrevendo:
\frac{df}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}\,f(t).

Passo 3

Resolver a equação diferencial para f(t).
Esta é uma equação do tipo \dfrac{df}{dt}=a\,f com a=-\dfrac{iE}{\hbar}. A solução geral é obtida separando variáveis e integrando:
\frac{df}{f}=-\frac{iE}{\hbar}\,dt
\Rightarrow \ln f(t)=-\frac{iE}{\hbar}t + \text{constante}
\Rightarrow f(t)=C\,e^{-iEt/\hbar},
onde C é uma constante complexa de integração que pode ser fixada pela normalização global se necessário.

Passo 4

Substituir E=E_{0}+i\Gamma e calcular o módulo quadrado de f(t).
Escrevendo E conforme a dica,
f(t)=C\,\exp\!\left(-\frac{i(E_{0}+i\Gamma)t}{\hbar}\right) = C\,\exp\!\left(-\frac{iE_{0}t}{\hbar}\right)\exp\!\left(\frac{\Gamma t}{\hbar}\right).
Agora o módulo ao quadrado (que aparece na densidade de probabilidade) é
|f(t)|^{2}=|C|^{2}\,\exp\!\left(\frac{2\Gamma t}{\hbar}\right),
porque |e^{a+ib}|^{2}=e^{2a} quando a,b são reais.

Passo 5

Aplicar a condição de normalização/probabilidade para todo tempo e concluir sobre \Gamma.
A densidade de probabilidade total é
\int |\Psi(x,t)|^{2}\,dx=\int |\psi(x)|^{2}\,|f(t)|^{2}\,dx =|f(t)|^{2}\int |\psi(x)|^{2}\,dx.
Como a solução é normalizável, \int |\psi(x)|^{2}\,dx é um número finito e positivo (chame-o de N, com 0<N<\infty). A condição dada (Equação 1.20) exige que a probabilidade total seja válida (por exemplo igual a 1) para todo t. Logo |f(t)|^{2} deve ser constante em t.
Mas da expressão do passo anterior temos |f(t)|^{2}=|C|^{2}\exp\!\big(\tfrac{2\Gamma t}{\hbar}\big). Esta função só é constante para todos os t se e somente se \Gamma=0. Se \Gamma>0 a probabilidade explode exponencialmente com o tempo; se \Gamma<0 a probabilidade decai exponencialmente para zero — ambos incompatíveis com a normalização fixa para todo t.
Portanto \Gamma=0.

Passo 6

Conclusão sobre E e comentário físico rápido.
Como \Gamma=0, temos E=E_{0} com E_{0} real. Assim a constante de separação E deve ser real para que soluções normalizáveis (com probabilidade total finita e constante no tempo) existam. Fisicamente: uma parte imaginária de E geraria crescimento ou decaimento exponencial da norma da função de onda, o que viola a conservação da probabilidade.

Resposta

E deve ser real; ou seja, \Gamma=0 e E=E_{0}\in\mathbb{R}.

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