*Problema 2.1 Prove os três teoremas a seguir:
Para soluções normalizáveis, a constante da separaçāo
deve ser real. Dica: escreva
(na Equação 2.7) como
(com
e
reais) e demonstre que se a Equação 1.20 é válida para todos os
, então
deve ser zero.
Para soluções normalizáveis, a constante da separaçāo
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Foi feita a separação de variáveis na equação de onda/Schrödinger e apareceu uma constante de separação chamada
(referida na Equação 2.7 do enunciado). - Também temos a condição de normalização/probabilidade válida para todos os tempos (referida como Equação 1.20): a probabilidade total é finita e constante no tempo.
- O pedido é: provar que, para soluções normalizáveis, a constante de separação
deve ser um número real.
Vou usar a dica: escrever
como
com
e
reais, e mostrar que a exigência de normalização para todo
força
.
Passo 2
Recordando a equação temporal obtida pela separação de variáveis e como se resolve (passo a passo, sem pular nada).
Ao separar variáveis normalmente obtemos uma equação do tipo
onde
é a parte temporal da solução separada
. Esta é uma equação diferencial ordinária simples para
. Reescrevendo:
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
.
Esta é uma equação do tipo
com
. A solução geral é obtida separando variáveis e integrando:
onde
é uma constante complexa de integração que pode ser fixada pela normalização global se necessário.
Passo 4
Substituir
e calcular o módulo quadrado de
.
Escrevendo
conforme a dica,
Agora o módulo ao quadrado (que aparece na densidade de probabilidade) é
porque
quando
são reais.
Passo 5
Aplicar a condição de normalização/probabilidade para todo tempo e concluir sobre
.
A densidade de probabilidade total é
Como a solução é normalizável,
é um número finito e positivo (chame-o de
, com
). A condição dada (Equação 1.20) exige que a probabilidade total seja válida (por exemplo igual a 1) para todo
. Logo
deve ser constante em
.
Mas da expressão do passo anterior temos
. Esta função só é constante para todos os
se e somente se
. Se
a probabilidade explode exponencialmente com o tempo; se
a probabilidade decai exponencialmente para zero — ambos incompatíveis com a normalização fixa para todo
.
Portanto
.
Passo 6
Conclusão sobre
e comentário físico rápido.
Como
, temos
com
real. Assim a constante de separação
deve ser real para que soluções normalizáveis (com probabilidade total finita e constante no tempo) existam. Fisicamente: uma parte imaginária de
geraria crescimento ou decaimento exponencial da norma da função de onda, o que viola a conservação da probabilidade.