Problema 4 (1,5 pt) Um capacitor rudimentar é formado por um par de placas paralelas verticais, cada uma de área A, separadas por uma distância d. Considere d^{2} \ll A. Se cada plano tem densidade de carga superficial \sigma>0, determine o campo elétrico na região (a) entre as placas. Seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma de suas faces.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas placas planas, paralelas e verticais, cada uma com área A, separadas por distância d.
  • A condição d^{2}\ll A indica que podemos desprezar efeitos de borda (ou seja, aproximar cada placa por uma lâmina infinita).
  • Cada placa tem densidade de carga superficial \sigma>0.
O que o problema pede:
  • Determinar o campo elétrico na região entre as placas (região interna, entre as duas superfícies).
  • Ser claro sobre as superfícies gaussianas que serão usadas.
  • Calcular separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada face dessas superfícies gaussianas.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicando passo a passo como funciona):
  • Lei de Gauss: para qualquer superfície fechada vale
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada e d\mathbf{A} é o vetor área apontando para fora da superfície em cada ponto.
  • Fluxo através de uma face plana: se o campo \mathbf{E} for uniforme sobre a face e \hat n for o verso unitário (orientação) da face, o fluxo é \Phi=\mathbf{E}\cdot\mathbf{A}=E\cos\theta\;A. Para faces com normal paralelo ou antiparalelo ao campo, \cos\theta=\pm1 e a expressão simplifica para \pm E A.
  • Para uma lâmina infinita com densidade superficial \sigma (e simetria adequada), o campo gerado é perpendicular à lâmina e de mesma magnitude em todos os pontos a uma dada distância (desprezando bordas).
Vou primeiro obter o campo produzido por uma única lâmina infinita carregada usando Gauss, porque isso é a base para entender o caso de duas lâminas.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana para a lâmina infinita e cálculo do fluxo através de cada face:
  • Superfície: um “pilhinho” cilíndrico (um cilindro muito curto) cujo eixo é perpendicular à lâmina. As faces planas do cilindro têm área A_\text{face} (posso escolher A_\text{face}=A ou qualquer outra área conveniente) e estão uma de cada lado da lâmina; a altura do cilindro é pequena mas suficiente para que as duas faces fiquem uma de cada lado da lâmina. As faces curvas do cilindro são paralelas à lâmina.
  • Por simetria, o campo produzido pela lâmina é perpendicular à lâmina e tem a mesma magnitude em pontos equidistantes de cada lado. Assim o campo é perpendicular às faces planas do cilindro e paralelo às superfícies curvas. Logo:
    • Fluxo pela face plana superior: \Phi_{\text{top}}=\mathbf{E}_{\text{top}}\cdot\mathbf{A}_{\text{top}}=E_{\text{top}}A_{\text{face}}.
    • Fluxo pela face plana inferior: \Phi_{\text{bot}}=\mathbf{E}_{\text{bot}}\cdot\mathbf{A}_{\text{bot}}=E_{\text{bot}}A_{\text{face}} (atenção aos sinais, na conta abaixo fica explícito).
    • Fluxo pela superfície curva: \Phi_{\text{curva}}=0, porque o campo é perpendicular à normal das superfícies curvas (campo paralelo às curvas), então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 ali.
  • A carga contida no cilindro é Q_{\text{int}}=\sigma A_{\text{face}} (a lâmina atravessa o cilindro, carregando a densidade superficial \sigma sobre a área da interseção).
  • Aplicando Gauss:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{\text{top}}+\Phi_{\text{bot}}+\Phi_{\text{curva}}=E_{\text{top}}A_{\text{face}}+E_{\text{bot}}A_{\text{face}}+0=\frac{\sigma A_{\text{face}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Pela simetria da lâmina isolada, as magnitudes do campo a cada lado são iguais: E_{\text{top}}=E_{\text{bot}}=E. Substituindo:
2E A_{\text{face}}=\frac{\sigma A_{\text{face}}}{\varepsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • Direção: para \sigma>0 o campo aponta para fora da superfície carregada em ambos os lados (isto é, “afastando-se” da lâmina).
Resumo deste passo (resultado útil): o campo produzido por uma lâmina infinita com densidade \sigma tem magnitude
\boxed{E_{\text{lâmina}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}}â
em cada lado, apontando sempre para fora se \sigma>0.

Passo 4

Aplicação ao sistema com duas placas paralelas, ambas com \sigma>0. Estratégia: usar superposição dos campos de cada lâmina (válido porque o eletromagnetismo é linear) e/ou Gauss em regiões apropriadas. Primeiro raciocínio físico simples (superposição):
  • Nomeando: placa esquerda em x=0, placa direita em x=d. Eixo x apontando da esquerda para a direita.
  • Campo gerado pela placa esquerda:
    • Para a região entre as placas (à direita da placa esquerda), o campo da placa esquerda aponta para a direita com magnitude E_L=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • Campo gerado pela placa direita:
    • Para a região entre as placas (à esquerda da placa direita), o campo da placa direita aponta para a esquerda com magnitude E_R=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • O campo total entre as placas é a soma vetorial:
\mathbf{E}_{\text{total}}=\mathbf{E}_L+\mathbf{E}_R=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}+\left(-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat{x}\right)=\mathbf{0}.
Portanto o campo elétrico entre as placas é nulo: \mathbf{E}=0 na região interna.

Passo 5

Agora mostro explicitamente as superfícies gaussianas que justificam os fluxos pedidos e calculo os fluxos face a face:
Superfície gaussiana A — o cilindro que usei para a lâmina isolada (straddling a lâmina):
  • Faces planas (cada uma com área A_{\text{face}}); face superior tem vetor área \,+\hat{n}A_{\text{face}}, face inferior tem vetor área -\hat{n}A_{\text{face}}.
  • Fluxo pela face superior: \Phi_{\text{top}}=E_{\text{top}}A_{\text{face}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}A_{\text{face}}.
  • Fluxo pela face inferior: \Phi_{\text{bot}}=E_{\text{bot}}A_{\text{face}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}A_{\text{face}}.
  • Fluxo pela superfície curva: \Phi_{\text{curva}}=0.
  • Total: \Phi_{\text{total}}= \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}A_{\text{face}}+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}A_{\text{face}}=\dfrac{\sigma A_{\text{face}}}{\varepsilon_{0}}, consistindo com Q_{\text{int}}/\varepsilon_0.
Superfície gaussiana B — um pilhinho inteiramente entre as placas (não envolvendo nenhuma carga):
  • Escolha um cilindro pequeno inteiramente no espaço entre as placas; pela hipótese já encontramos \mathbf{E}=0 nessa região, mas aplicamos Gauss para ver os fluxos:
    • Como não há carga dentro, \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.
    • Se \mathbf{E}=0 na região, então o fluxo através de cada face é 0.
    • Se alguém preferir raciocinar sem assumir \mathbf{E}=0 antes: Gauss diz que a soma dos fluxos pelas duas faces (top e bottom) e pela lateral é zero; pela simetria entre top e bottom (faces paralelas e geometria uniforme), e sabendo que fluxo lateral é zero (campo perpendicular às normais laterais), conclui-se que os fluxos pelas faces planas satisfazem \Phi_{\text{top}}+\Phi_{\text{bot}}=0. Mas os campos produzidos pelas duas lâminas têm sentidos opostos no interior e iguais em magnitude, conduzindo a \Phi_{\text{top}}=\Phi_{\text{bot}}=0 quando se soma as contribuições de ambas as lâminas — isto confirma \mathbf{E}=0 e \Phi_{\text{top}}= \Phi_{\text{bot}}=0.
Portanto, fluxos calculados resumidamente:
  • Para o cilindro que straddles uma lâmina: \Phi_{\text{top}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}A_{\text{face}}, \Phi_{\text{bot}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}A_{\text{face}}, \Phi_{\text{curva}}=0.
  • Para um cilindro totalmente entre as placas: \Phi_{\text{top}}=0, \Phi_{\text{bot}}=0, \Phi_{\text{curva}}=0.

Passo 6

Interpretação física e observações finais (meio motivacional, porque sei que isso às vezes confunde):
  • Intuitivamente: cada placa positiva “quer” empurrar as linhas de campo para fora de si; entre as placas as linhas de campo produzidas por uma placas são direcionadas para fora (direção oposta às da outra placa), então elas se cancelam entre si. Fora das placas (fora do par), os campos das duas placas apontam na mesma direção e se somam.
  • A condição d^{2}\ll A garante que minimizaríamos efeitos de borda; isso justifica tratar cada placa como uma lâmina quase infinita, o que torna válido usar E=\sigma/(2\varepsilon_{0}) para cada lâmina isoladamente.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=\mathbf{0} (campo elétrico nulo na região entre as placas).

Exercícios relacionados