Problema 4 (
pt) Na experiência de Milikan, gotículas de óleo com densidade
são suspensas por um campo elétrico (considerado uniforme) contra a ação da gravidade. Considerando que o raio de cada gotícula é de aproximadamente
, que a carga em cada uma é
(onde
é a carga do elétron) e que a aceleração da gravidade vale
, determine o campo elétrico na região em questão. A resposta pode ser deixada em termos de
e outras constantes fundamentais.
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Pedido: determinar o campo elétrico na região que mantém a gotícula em suspensão (equilíbrio).
- Dados fornecidos:
- densidade do óleo:
; - raio da gotícula:
; - carga da gotícula:
(onde é a carga do elétron); - aceleração da gravidade:
.
- densidade do óleo:
- Constantes disponíveis (tiradas da tabela do enunciado):
-
.
-
- Pergunta implícita: devemos fornecer magnitude e direção do campo elétrico (se possível).
Passo 2
Quais forças atuam na gotícula e como escrever a condição de equilíbrio.
- A gotícula sofre duas forças verticais principais (desprezando atrito viscoso porque estamos no equilíbrio estático):
- peso (força da gravidade), apontando para baixo:
. - força elétrica, devido ao campo uniforme
: . O sentido de depende do sinal de e do sentido de .
- peso (força da gravidade), apontando para baixo:
- Também existe a força de empuxo do ar (princípio de Arquimedes):
, onde é o volume da gotícula e é a densidade do ar. Essa força é para cima. - Volume da gotícula (uma esfera):
- Massa da gotícula (assumindo densidade do líquido completa):
- Condição de equilíbrio (soma das forças = 0). Escolhendo sentido positivo para cima:
(Aqui é a componente do campo na direção vertical; signo de já trata a direção da força elétrica.)
Passo 3
Isolar
na expressão de equilíbrio e obter fórmula geral (incluindo empuxo).
- A partir de
obtemos: - Substituindo
e : - Portanto a fórmula exata para
(com sinal) é - Escrevendo
temos
Passo 4
Justificar aproximação prática (empuxo do ar é desprezível) e simplificar a fórmula.
- A densidade do ar é muito menor que a do óleo (
versus ), logo o termo dá uma correção pequena: Ou seja, o empuxo reduziria o campo em apenas cerca de . Para simplificar a conta (e porque o enunciado não fornece explicitamente), vamos desprezar o empuxo; a fórmula aproximada fica - Observação sobre o sinal de
: a tabela do enunciado dá . Assim é negativo; isso implica que o campo resultante apontará para baixo (veremos isso ao obter o sinal numérico). Para a magnitude, usaremos o valor absoluto de no denominador.
Passo 5
Cálculo numérico detalhado, passo a passo.
- Volume da gotícula:
Calcule
:
Logo
Se desejar número:
- Massa da gotícula:
- Peso (força gravitacional):
- Carga elétrica da gotícula:
- Campo elétrico (com sinal):
- O sinal negativo indica que o campo aponta para baixo (orientação escolhida: para cima positiva). A magnitude é
- Se incluirmos o empuxo usando
, o resultado numérico muda muito pouco para
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova (resumo prático).
- Fórmula prática a decorar/usar em prova (sem empuxo):
Explique mentalmente: o campo faz uma força que precisa “segurar” o peso . - No caso dado, como
e é negativo, o campo deve apontar para baixo para que seja para cima (lembre-se: carga negativa + campo apontando para baixo gera força para cima). Aqui obtivemos que já é negativo, então o valor numérico de com sinal ficou negativo (para baixo). A magnitude numérica é da ordem de .