Problema 4 ( \mathbf{2 , 0} pt) Na experiência de Milikan, gotículas de óleo com densidade \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} são suspensas por um campo elétrico (considerado uniforme) contra a ação da gravidade. Considerando que o raio de cada gotícula é de aproximadamente 3 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}, que a carga em cada uma é q=3 e (onde e é a carga do elétron) e que a aceleração da gravidade vale g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine o campo elétrico na região em questão. A resposta pode ser deixada em termos de e, \pi, \epsilon_{o} e outras constantes fundamentais.
\begin{array}{cc} \int \mathrm{e}^{a x} d x=\frac{1}{a} \mathrm{e}^{a x} & \int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) ; \\\ \int \frac{x d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}}=\sqrt{x^{2}+a^{2}} ; & \int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{x}{a^{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}}} ; \\\ \int \frac{x d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{-1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} ; & \int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\ln \left(\frac{x}{a}+\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+1}\right) \\\ f\left(x_{o}+\epsilon\right) \approx f\left(x_{o}\right)+f^{\prime}\left(x_{o}\right) \cdot \epsilon & (1+\epsilon)^{n} \approx 1+n \cdot \epsilon \\\ e=-1,602 \times 10^{-19} C & m_{e}=9,109 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\\ { }^{\circ} C & 1 /\left(4 \pi \epsilon_{o}\right)=8,99 \times 10^{9} N \cdot \mathrm{~m}^{2} / C^{2} \end{array}

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar o campo elétrico na região que mantém a gotícula em suspensão (equilíbrio).
  • Dados fornecidos:
    • densidade do óleo: \rho_{\text{o}} = 900\\ \mathrm{kg/m^{3}};
    • raio da gotícula: r = 3\times10^{-3}\\ \mathrm{mm} = 3\times10^{-6}\\ \mathrm{m};
    • carga da gotícula: q = 3e (onde e é a carga do elétron);
    • aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Constantes disponíveis (tiradas da tabela do enunciado):
    • e = -1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Pergunta implícita: devemos fornecer magnitude e direção do campo elétrico (se possível).

Passo 2

Quais forças atuam na gotícula e como escrever a condição de equilíbrio.
  • A gotícula sofre duas forças verticais principais (desprezando atrito viscoso porque estamos no equilíbrio estático):
    1. peso (força da gravidade), apontando para baixo: F_{\text{g}} = m\,g.
    2. força elétrica, devido ao campo uniforme \mathbf{E}: \mathbf{F}_{\text{el}} = q\,\mathbf{E}. O sentido de \mathbf{F}_{\text{el}} depende do sinal de q e do sentido de \mathbf{E}.
  • Também existe a força de empuxo do ar (princípio de Arquimedes): F_{\text{b}} = \rho_{\text{ar}} V g, onde V é o volume da gotícula e \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar. Essa força é para cima.
  • Volume da gotícula (uma esfera): V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Massa da gotícula (assumindo densidade do líquido completa): m = \rho_{\text{o}} V = \rho_{\text{o}} \cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Condição de equilíbrio (soma das forças = 0). Escolhendo sentido positivo para cima: qE + F_{\text{b}} - m g = 0.(Aqui E é a componente do campo na direção vertical; signo de q já trata a direção da força elétrica.)

Passo 3

Isolar E na expressão de equilíbrio e obter fórmula geral (incluindo empuxo).
  • A partir de qE + F_{\text{b}} - m g = 0 obtemos: qE = m g - F_{\text{b}}.
  • Substituindo m=\rho_{\text{o}}V e F_{\text{b}}=\rho_{\text{ar}}V g: qE = (\rho_{\text{o}} - \rho_{\text{ar}})\,V\,g.
  • Portanto a fórmula exata para E (com sinal) é E = \frac{(\rho_{\text{o}} - \rho_{\text{ar}})\,V\,g}{q}.
  • Escrevendo V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} temos E = \frac{(\rho_{\text{o}} - \rho_{\text{ar}})\,\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\,g}{q}.

Passo 4

Justificar aproximação prática (empuxo do ar é desprezível) e simplificar a fórmula.
  • A densidade do ar é muito menor que a do óleo ( \rho_{\text{ar}}\approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} versus \rho_{\text{o}}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}), logo o termo \rho_{\text{ar}} dá uma correção pequena: \frac{\rho_{\text{o}}-\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{o}}} \approx \frac{900-1{,}2}{900}\approx 0{,}9987.Ou seja, o empuxo reduziria o campo em apenas cerca de 0{,}13\%. Para simplificar a conta (e porque o enunciado não fornece \rho_{\text{ar}} explicitamente), vamos desprezar o empuxo; a fórmula aproximada fica E \approx \frac{\rho_{\text{o}} \,\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\,g}{q}.
  • Observação sobre o sinal de q: a tabela do enunciado dá e=-1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Assim q=3e é negativo; isso implica que o campo resultante apontará para baixo (veremos isso ao obter o sinal numérico). Para a magnitude, usaremos o valor absoluto de q no denominador.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado, passo a passo.
  1. Volume da gotícula:
V = \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi (3\times10^{-6})^{3}.
Calcule r^{3}:
r^{3} = (3\times10^{-6})^{3} = 27\times10^{-18} = 2{,}7\times10^{-17}\\ \mathrm{m^{3}}.
Logo
V = \frac{4}{3}\pi \cdot 2{,}7\times10^{-17} = 3{,}6\pi\times10^{-17}\\ \mathrm{m^{3}}.
Se desejar número:
V \approx 3{,}6\cdot3{,}1416\times10^{-17} \approx 1{,}13097\times10^{-16}\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Massa da gotícula:
m = \rho_{\text{o}} V = 900 \cdot 1{,}13097\times10^{-16}\\ \mathrm{kg} \approx 1{,}01787\times10^{-13}\\ \mathrm{kg}.
  1. Peso (força gravitacional):
m g \approx 1{,}01787\times10^{-13}\cdot 10 = 1{,}01787\times10^{-12}\\ \mathrm{N}.
  1. Carga elétrica da gotícula:
q = 3e = 3\cdot(-1{,}602\times10^{-19}) = -4{,}806\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  1. Campo elétrico (com sinal):
E = \frac{m g}{q} \approx \frac{1{,}01787\times10^{-12}}{-4{,}806\times10^{-19}} \approx -2{,}118\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • O sinal negativo indica que o campo aponta para baixo (orientação escolhida: para cima positiva). A magnitude é
|E| \approx 2{,}12\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Se incluirmos o empuxo usando \rho_{\text{ar}}\approx1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}, o resultado numérico muda muito pouco para
|E|\approx 2{,}12\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}\quad(\text{redução de }\sim0{,}13\%).çã

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova (resumo prático).
  • Fórmula prática a decorar/usar em prova (sem empuxo): E \approx \frac{\rho_{\text{o}} \,\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\,g}{q}.Explique mentalmente: o campo faz uma força qE que precisa “segurar” o peso mg.
  • No caso dado, como q=3e e e é negativo, o campo deve apontar para baixo para que qE seja para cima (lembre-se: carga negativa + campo apontando para baixo gera força para cima). Aqui obtivemos que q já é negativo, então o valor numérico de E com sinal ficou negativo (para baixo). A magnitude numérica é da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

\displaystyle E \approx 2{,}12\times 10^{6}\\ \mathrm{N/C} (para baixo)

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