Problema 2 (
pt) Uma casca cilíndrica de raio
e comprimento infinito tem densidade de carga superficial homogênea
. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) nas regiões interna (
) e externa (
) à casca, onde
é a distância ao eixo do cilindro. Faça um desenho especificando as superfícies gaussianas utilizadas. Faça um esboço de um gráfico que indique a intensidade do campo elétrico em função da coordenada
.
Passo 1
O enunciado dá uma casca cilíndrica de raio
e comprimento infinito com densidade de carga superficial homogênea
. Pede-se:
- Determinar o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região interna à casca (
); - Determinar o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região externa à casca (
); - Fazer um desenho especificando as superfícies gaussianas utilizadas;
- Fazer um esboço do gráfico da intensidade do campo
em função de .
Informações relevantes dadas:
- Raio da casca:
. - Densidade de carga superficial, uniforme:
(unidades ). - Cilindro de comprimento infinito (logo, podemos desprezar efeitos de borda).
- Coordenada radial medida a partir do eixo:
.
Passo 2
Por que usar a Lei de Gauss? Explicação didática curta e intuitiva:
- A casca é cilíndrica e infinita: o sistema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico, se existir, depende só da distância radial
ao eixo e está dirigido radialmente (nem depende de ângulo nem de coordenada axial). - A Lei de Gauss relaciona fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada ao total de carga elétrica contida no interior dessa superfície:
Aqui
é a constante elétrica do vácuo. Vou usar essa lei porque, com a simetria cilíndrica, o cálculo do fluxo vira simples (o campo é uniforme sobre a superfície curva escolhida).
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana (explicar como fazer no exame):
- Escolher uma superfície cilíndrica co-axial com a casca, de raio
(variável, para avaliar regiões e ) e comprimento arbitrário (escolher finito para contar carga; cancela no final). Essa superfície tem três partes: a superfície lateral curva e duas tampas circulares nas extremidades. - Justificativa: por simetria, o campo tem direção radial e mesmo módulo em todos os pontos da superfície lateral; nas tampas o vetor área é paralelo ao eixo e o campo é radial, logo
nas tampas. Assim o fluxo atravessa apenas a superfície lateral e é fácil de calcular.
Desenho mental (para fazer no caderno):
- Desenhar a casca de raio
e uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio . Fazer dois casos: (i) (a superfície está dentro da casca) e (ii) (a superfície envolve a casca).
Passo 4
Preparar a equação de Gauss para a superfície lateral:
- Em toda a superfície lateral a magnitude do campo é constante e igual a
e o elemento de área é ou, de forma integrada, a área lateral total é . - O fluxo pela superfície lateral vale:
- As tampas não contribuem porque
é perpendicular a suas normais.
Passo 5
Caso 1: região interna à casca,
.
- Determinar a carga encerrada pela superfície gaussiana: a casca tem carga apenas sobre a superfície de raio
. Se a superfície gaussiana tem raio , ela não intercepta a superfície carregada, logo
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Conclui-se:
Interpretação física: dentro de uma casca cilíndrica infinitamente longa com carga só na superfície, não há campo elétrico na região interna — análogo ao resultado para uma casca esférica, mas aqui por simetria cilíndrica.
Passo 6
Caso 2: região externa à casca,
.
- Agora a superfície gaussiana de raio
encerra toda a carga da casca ao longo do comprimento . - A carga total contida é a densidade superficial
multiplicada pela área da casca dentro do comprimento , isto é:
Observação: neste passo estou explicitando que usei o dado “densidade de carga superficial homogênea
” para calcular
.
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Simplificando (os fatores
cancelam):
Passo 7
Expressão vetorial, direção e sentido:
- Como o campo é radial (devido à simetria), em forma vetorial:
onde
é o versor radial que aponta para fora do eixo. O sentido (para fora ou para dentro) depende do sinal de
:
- Se
: campo aponta radialmente para fora. - Se
: campo aponta radialmente para dentro (troca de sinal em ). - No interior
temos .
Passo 8
Campo na vizinhança da superfície e descontinuidade:
- Avaliando o limite externo em
:
- No interior imediato
temos . - Assim há uma descontinuidade na componente radial do campo atravessando a casca:
que é o resultado geral para uma folha de carga superficial (diferença da componente normal igual a
).
Passo 9
Esboço do gráfico
versus
(como desenhar no caderno):
- Eixo horizontal:
(marcar ). - Eixo vertical: intensidade
(para representar módulo). - Para
: — desenhar eixo horizontal ao longo de zero até . - Em
: salto (descontinuidade) até . - Para
: curva decrescente do tipo (hipérbole em ). Ao aumentar a curva tende a zero como . - Se preferir, marcar pontos como
e setas mostrando decaimento para .
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento prático):
- Identifique simetrias: se o problema tem cilindros coaxiais e comprimento muito maior que as dimensões relevantes, use simetria cilíndrica.
- Escolha uma superfície gaussiana que respeite a simetria (cilindro coaxial aqui).
- Calcule
com a densidade adequada (aqui usei e a área da casca contida no comprimento ). - Lembre que tampas não contribuem quando campo é radial.
- Sempre verificar sentido do campo pelo sinal de
.
Resposta
Superfícies gaussianas: cilindros coaxiais de raio