Problema 2 ( \mathbf{2 , 5} pt) Uma casca cilíndrica de raio R e comprimento infinito tem densidade de carga superficial homogênea \sigma. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) nas regiões interna ( r<R ) e externa ( r>R ) à casca, onde r é a distância ao eixo do cilindro. Faça um desenho especificando as superfícies gaussianas utilizadas. Faça um esboço de um gráfico que indique a intensidade do campo elétrico em função da coordenada r.

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica de raio \,R\, e comprimento infinito com densidade de carga superficial homogênea \,\sigma. Pede-se:
  • Determinar o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região interna à casca ( r<R);
  • Determinar o campo elétrico (módulo, direção e sentido) na região externa à casca ( r>R);
  • Fazer um desenho especificando as superfícies gaussianas utilizadas;
  • Fazer um esboço do gráfico da intensidade do campo E em função de r.
Informações relevantes dadas:
  • Raio da casca: \,R\,.
  • Densidade de carga superficial, uniforme: \,\sigma (unidades \mathrm{C/m^2}).
  • Cilindro de comprimento infinito (logo, podemos desprezar efeitos de borda).
  • Coordenada radial medida a partir do eixo: \,r\,.

Passo 2

Por que usar a Lei de Gauss? Explicação didática curta e intuitiva:
  • A casca é cilíndrica e infinita: o sistema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico, se existir, depende só da distância radial r ao eixo e está dirigido radialmente (nem depende de ângulo nem de coordenada axial).
  • A Lei de Gauss relaciona fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada ao total de carga elétrica contida no interior dessa superfície:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui \epsilon_0 é a constante elétrica do vácuo. Vou usar essa lei porque, com a simetria cilíndrica, o cálculo do fluxo vira simples (o campo é uniforme sobre a superfície curva escolhida).

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana (explicar como fazer no exame):
  • Escolher uma superfície cilíndrica co-axial com a casca, de raio \,r\, (variável, para avaliar regiões r<R e r>R) e comprimento arbitrário \,L (escolher L finito para contar carga; L cancela no final). Essa superfície tem três partes: a superfície lateral curva e duas tampas circulares nas extremidades.
  • Justificativa: por simetria, o campo tem direção radial e mesmo módulo em todos os pontos da superfície lateral; nas tampas o vetor área é paralelo ao eixo e o campo é radial, logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas. Assim o fluxo atravessa apenas a superfície lateral e é fácil de calcular.
Desenho mental (para fazer no caderno):
  • Desenhar a casca de raio \,R e uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r. Fazer dois casos: (i) r<R (a superfície está dentro da casca) e (ii) r>R (a superfície envolve a casca).

Passo 4

Preparar a equação de Gauss para a superfície lateral:
  • Em toda a superfície lateral a magnitude do campo é constante e igual a E(r) e o elemento de área é dA = r\,d\varphi\,dz ou, de forma integrada, a área lateral total é \,A_{\text{lat}}=2\pi r L\,.
  • O fluxo pela superfície lateral vale:
\Phi = E(r)\cdot (2\pi r L).
  • As tampas não contribuem porque \mathbf{E} é perpendicular a suas normais.

Passo 5

Caso 1: região interna à casca, r<R.
  • Determinar a carga encerrada pela superfície gaussiana: a casca tem carga apenas sobre a superfície de raio R. Se a superfície gaussiana tem raio r<R, ela não intercepta a superfície carregada, logo
Q_{\text{int}}=0.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot (2\pi r L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0} = 0.
  • Conclui-se:
E(r)=0\quad\text{para}\quad r<R.
Interpretação física: dentro de uma casca cilíndrica infinitamente longa com carga só na superfície, não há campo elétrico na região interna — análogo ao resultado para uma casca esférica, mas aqui por simetria cilíndrica.

Passo 6

Caso 2: região externa à casca, r>R.
  • Agora a superfície gaussiana de raio r>R encerra toda a carga da casca ao longo do comprimento L.
  • A carga total contida é a densidade superficial \sigma multiplicada pela área da casca dentro do comprimento L, isto é:
Q_{\text{int}} = \sigma \times (\text{circunferência}\times L) = \sigma\,(2\pi R L).ê
Observação: neste passo estou explicitando que usei o dado “densidade de carga superficial homogênea \sigma” para calcular Q_{\text{int}}.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot (2\pi r L) = \frac{\sigma (2\pi R L)}{\epsilon_0}.
  • Simplificando (os fatores 2\pi L cancelam):
E(r)=\frac{\sigma R}{\epsilon_0\, r}\quad\text{para}\quad r>R.

Passo 7

Expressão vetorial, direção e sentido:
  • Como o campo é radial (devido à simetria), em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}=\frac{\sigma R}{\epsilon_0\, r}\,\hat{r}\quad\text{para } r>R,
onde \hat{r} é o versor radial que aponta para fora do eixo. O sentido (para fora ou para dentro) depende do sinal de \sigma:
  • Se \sigma>0: campo aponta radialmente para fora.
  • Se \sigma<0: campo aponta radialmente para dentro (troca de sinal em E).
  • No interior r<R temos \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.

Passo 8

Campo na vizinhança da superfície e descontinuidade:
  • Avaliando o limite externo em r\to R^+:
E(R^+)=\frac{\sigma R}{\epsilon_0 R}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}.
  • No interior imediato r\to R^- temos E(R^-)=0.
  • Assim há uma descontinuidade na componente radial do campo atravessando a casca:
E(R^+)-E(R^-)=\frac{\sigma}{\epsilon_0},
que é o resultado geral para uma folha de carga superficial (diferença da componente normal igual a \sigma/\epsilon_0).

Passo 9

Esboço do gráfico E versus r (como desenhar no caderno):
  • Eixo horizontal: r (marcar r=R).
  • Eixo vertical: intensidade E\ge 0 (para representar módulo).
  • Para 0\le r<R: E(r)=0 — desenhar eixo horizontal ao longo de zero até r=R.
  • Em r=R: salto (descontinuidade) até E(R^+)=\sigma/\epsilon_0.
  • Para r>R: curva decrescente do tipo E(r)=\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0 r} (hipérbole em 1/r). Ao aumentar r a curva tende a zero como 1/r.
  • Se preferir, marcar pontos como E(R)=\sigma/\epsilon_0 e setas mostrando decaimento para r\to\infty.

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento prático):
  • Identifique simetrias: se o problema tem cilindros coaxiais e comprimento muito maior que as dimensões relevantes, use simetria cilíndrica.
  • Escolha uma superfície gaussiana que respeite a simetria (cilindro coaxial aqui).
  • Calcule Q_{\text{int}} com a densidade adequada (aqui usei \sigma e a área da casca contida no comprimento L).
  • Lembre que tampas não contribuem quando campo é radial.
  • Sempre verificar sentido do campo pelo sinal de \sigma.

Resposta

r<R:\quad \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.\newline
r>R:\quad \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\sigma R}{\epsilon_0\,r}\,\hat{r} (direção radial; sentido para fora se \sigma>0, para dentro se \sigma<0).\newline
Superfícies gaussianas: cilindros coaxiais de raio r e comprimento L; gráfico E(r): E=0 para r<R, salto até E(R^+)=\sigma/\epsilon_0 em r=R, e decaimento \propto 1/r para r>R.

Exercícios relacionados