Prove as seguintes identidades trigonométricas:
\sin ^{3} \theta=\frac{3 \sin \theta-\sin 3 \theta}{4}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\sin^{3}\theta = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}{4}.
O conteúdo envolvido são as fórmulas de soma de ângulos e de ângulo duplo. A estratégia será calcular \sin3\theta em função de \sin\theta e depois isolar \sin^{3}\theta.

Passo 2

Use a fórmula de soma de ângulos para escrever \sin3\theta como \sin(2\theta+\theta):
\sin3\theta = \sin(2\theta+\theta) = \sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta.

Passo 3

Substitua as identidades de ângulo duplo \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta e \cos2\theta = 1-2\sin^{2}\theta:
\sin3\theta = 2\sin\theta\cos\theta\cdot\cos\theta + (1-2\sin^{2}\theta)\sin\theta = 2\sin\theta\cos^{2}\theta + \sin\theta - 2\sin^{3}\theta.

Passo 4

Use \cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta para expressar tudo em \sin\theta:
2\sin\theta(1-\sin^{2}\theta) + \sin\theta - 2\sin^{3}\theta = 2\sin\theta - 2\sin^{3}\theta + \sin\theta - 2\sin^{3}\theta = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta.
Logo
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta.

Passo 5

Reorganize essa última igualdade para isolar \sin^{3}\theta:
4\sin^{3}\theta = 3\sin\theta - \sin3\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin^{3}\theta = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}{4}.

Resposta

\sin^{3}\theta = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}{4}.

Exercícios relacionados