- PROBLEMA 3

Seja S o valor da área da região limitada por x=y^{2}+1, x=5, y=-3 e y=3. Encontre o valor de 3 \cdot S

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por x = y^2 + 1, x = 5, y = -3 e y = 3. O conteúdo envolvido é cálculo de áreas por integração, e é mais conveniente integrar em relação a y, já que as fronteiras laterais estão dadas por curvas de x.

Passo 2

A área S vale
S = \int_{y=-3}^{3} \bigl(x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}}\bigr)\,dy
onde x_{\text{direita}} = 5 e x_{\text{esquerda}} = y^2 + 1. Assim,
S = \int_{-3}^{3} \bigl(5 - (y^2+1)\bigr)\,dy = \int_{-3}^{3} (4 - y^2)\,dy.

Passo 3

Calculando a integral:
\int_{-3}^{3} (4 - y^2)\,dy = \int_{-3}^{3}4\,dy \;-\; \int_{-3}^{3}y^2\,dy.
A primeira parte é
\int_{-3}^{3}4\,dy = 4\cdot(3 - (-3)) = 24.
A segunda parte é
\int_{-3}^{3}y^2\,dy = \Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{-3}^{3} = \bigl(\tfrac{27}{3} - \tfrac{-27}{3}\bigr) = 18.
Logo,
S = 24 - 18 = 6.

Passo 4

O problema pede 3 \cdot S. Portanto,
3S = 3 \times 6 = 18.

Resposta

18

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