- PROBLEMA 4

Se F(x)=\int_{x^{3}}^{x^{2}} \frac{t^{6}}{1+t^{4}} d t, encontre o valor de 2 \cdot\left|F^{\prime}(1)\right|.
Resposta: F^{\prime}(x)=\frac{2 x^{13}}{1+x^{8}}-\frac{3 x^{20}}{1+x^{12}} \cdot 2 \cdot\left|F^{\prime}(1)\right|=1.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{x^{3}}^{x^{2}}\frac{t^{6}}{1+t^{4}}\,dt
e pede o valor de 2\cdot\bigl|F'(1)\bigr|. Aqui o conteúdo é a derivada de uma integral com limites variáveis. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) junto com a Regra de Cadeia, ou seja, a regra de Leibniz para \frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt.

Passo 2

Pela regra de Leibniz temos
F'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x),
onde a(x)=x^3, b(x)=x^2 e f(t)=\dfrac{t^6}{1+t^4}. Assim,
F'(x) =\frac{(x^2)^6}{1+(x^2)^4}\cdot 2x \;-\; \frac{(x^3)^6}{1+(x^3)^4}\cdot 3x^2.

Passo 3

Agora simplificamos as potências: (x^2)^6=x^{12}, (x^2)^4=x^8, (x^3)^6=x^{18}, (x^3)^4=x^{12}. Logo
F'(x) =\frac{2x^{13}}{1+x^8} -\frac{3x^{20}}{1+x^{12}}.

Passo 4

Avaliaremos em x=1:
F'(1) =\frac{2\cdot1^{13}}{1+1^8} -\frac{3\cdot1^{20}}{1+1^{12}} =\frac{2}{2}-\frac{3}{2} =1-\tfrac32 =-\tfrac12.
Logo \bigl|F'(1)\bigr|=\tfrac12.

Passo 5

Finalmente,
2\cdot\bigl|F'(1)\bigr| =2\cdot\tfrac12 =1.

Resposta

1

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