Problema 2. Um sistema esta formado por um anel condutor de raio R com carga total Q e uma haste condutora com densidade de carga lambda. Este sistema tem um arranjo de forma que um extremo do fio condutor coincide com o centro do anel e se prolonga paralelo ao eixo. Mostre que força de interaçāo entre o anel e o fio é dado por:
F=14 pi epsilon0 Q lambdaR

Passo 1

O enunciado descreve um anel condutor de raio R com carga total Q e uma haste condutora infinita com densidade de carga lambda, cujo extremo parte do centro do anel e segue ao longo do eixo do mesmo. Precisamos calcular a força de interação elétrica entre o anel e a haste, usando a superposição de campos e integrando a força sobre cada elemento da haste.

Passo 2

O campo elétrico gerado pelo anel ao longo do seu eixo, num ponto distante z do centro, é dado por
E(z) = 14piepsilon0;Q,zl(R^2+z^2r)^3/2,
direcionado ao longo do eixo (repulsivo ou atrativo conforme o sinal das cargas).

Passo 3

Considere um elemento diferencial de comprimento dz da haste, localizado em z. A carga desse pedaço é dq=lambda,dz, e a força diferencial que age sobre ele é
dF = dq;E(z) = lambda,E(z),dz = 14piepsilon0;Q,lambda,zl(R^2+z^2r)^3/2;dz

Passo 4

Para obter a força total, integramos dF desde z=0 (centro do anel) até ztoinfty:
F = integral0^inftydF = Q,lambda4piepsilon0 integral0^inftyzl(R^2+z^2r)^3/2;dz

Passo 5

Fazemos a substituição z = Rtantheta, de modo que
dz = Rsec^2theta,dtheta, R^2+z^2=R^2sec^2theta
O integrando vira
z,dz(R^2+z^2)^3/2 = Rtantheta;Rsec^2theta,dthetaR^3sec^3theta = 1Rsintheta,dtheta
Os limites z=0toinfty correspondem a theta=0topi/2, então
integral0^inftyz(R^2+z^2)^3/2dz = 1R integral0^pi/2sintheta,dtheta = 1Rl[-costhetar]0^pi/2 = 1R

Passo 6

Substituindo o valor da integral em F, obtemos
F = Q,lambda4piepsilon0;1R

Resposta

F = 14piepsilon0;Q,lambdaR

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