Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
1+116+181+1256+1625+cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
1 + 116 + 181 + 1256 + 1625 + cdots
é convergente ou divergente usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste de integral para séries de termos positivos e decrescentes, que exige associar à série uma função contínua em [1,infty).

Passo 2

Vamos escrever o termo geral da série. Observamos que
1 = 11^4, 116 = 12^4, 181 = 13^4,;ldots
Logo a série é
sumn=1^infty 1n^4

Passo 3

Para aplicar o teste da integral, definimos
f(x) = 1x^4,
e verificamos suas propriedades em [1,infty):
  1. f é contínua e positiva, pois para x>=1 temos x^4>0.
  2. f é decrescente, pois
f'(x) = -4x^5<0 para x>0
Portanto, podemos aplicar o teste da integral à série sumn=1^infty f(n).

Passo 4

Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral1^infty 1x^4,dx =limbtoinftyintegral1^b x^-4,dx =limbtoinftyl[,-tfrac13x^-3r]1^b =limbtoinftyl(-tfrac13b^3+tfrac13r) =tfrac13
Como essa integral é finita, o teste da integral garante que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1n^4 é convergente pelo teste da integral.

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