Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste de integral para séries de termos positivos e decrescentes, que exige associar à série uma função contínua em
.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral da série. Observamos que
Logo a série é
Passo 3
Para aplicar o teste da integral, definimos
e verificamos suas propriedades em
:
-
é contínua e positiva, pois para temos . -
é decrescente, pois
Portanto, podemos aplicar o teste da integral à série
.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Como essa integral é finita, o teste da integral garante que a série converge.
Resposta
A série
é convergente pelo teste da integral.