Este problema é sobre a interpretação das derivadas direcionais. Seja f(x, y) uma função de 2 variáveis tal que a derivada direcional de f em (2,1) na direção do vetor u=-35 i+45 j=(-35, 45) satisfaz Du f(2,1)=-3, e f(2,1)=8. Use essas informações para estimar o valor de f quando x=1,94 e y=1,08.

Passo 1

O enunciado nos dá que
;;Duf(2,1)=-3 na direção
u=l(-tfrac35,tfrac45r)
e que f(2,1)=8. Queremos estimar f(1,94,1,08) usando a aproximação linear de primeira ordem. Em geral, para um deslocamento pequeno
De<a r, vale
De<a f approx nabla f(2,1)!cdot!De<a r,
e, se De<a r=t,u, então
De<a fapprox t,Duf(2,1).

Passo 2

Calculamos o vetor deslocamento de (2,1) até (1,94,1,08):
(De<a x,De<a y) =(1,94-2,;1,08-1) =(-0,06,;0,08)
Como
u=l(-tfrac35,tfrac45r) =(-0,6,;0,8),
vemos que
(-0,06,,0,08)=0,1,(-0,6,0,8)=0,1,u
Logo o deslocamento é t=0,1 vezes a direção u.

Passo 3

Aplicando a fórmula
De<a fapprox t,Duf(2,1), temos
De<a f approx 0,1cdot(-3) =-0,3
Portanto
f(1,94,1,08) approx f(2,1)+De<a f =8-0,3 =7,7

Resposta

A estimativa é
f(1,94,1,08)approx7,7

Exercícios relacionados