1. Sabendo-se que
11+x=sum0^infty(-1)^n x^n
escreva uma serie de potencias que represente a fungao x1+x^3.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
x1+x^3
sabendo que já temos
11+x=sumn=0^infty(-1)^nx^n, |x|<1
O conteúdo aqui é usar a série geométrica e fazer substituição e depois multiplicar por x.

Passo 2

Lembrando a série geométrica para lvert urvert<1:
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n

Passo 3

Fazendo a substituição u=x^3 temos, para lvert x^3rvert<1 (ou seja lvert xrvert<1),
11+x^3 =sumn=0^infty(-1)^nl(x^3r)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^3n

Passo 4

Agora basta multiplicar ambos os lados por x:
x1+x^3 =xsumn=0^infty(-1)^nx^3n =sumn=0^infty(-1)^nx^3n+1

Resposta

x1+x^3 =sumn=0^infty(-1)^nx^3n+1, |x|<1

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