Problema 1.4 Um tronco de madeira flutua verticalmente, meio submerso, quando colocado na água. Se eu o deixar cair de uma altura h na água, qual a profundidade que ele afunda antes de voltar à superfície?
Passo 1
O enunciado trata de um tronco de madeira de densidade
e comprimento
que flutua verticalmente, meio submerso, em água de densidade
. Quando está em repouso, a parte submersa tem altura
. Solicitam a profundidade máxima que o tronco atinge ao ser deixado cair de uma altura
sobre a água, antes de voltar à superfície. Vamos usar a conservação de energia e a força de empuxo variável para resolver.
Passo 2
Em equilíbrio estático o empuxo iguala o peso:
onde
é a área da seção transversal do tronco. Cancelando
,
Passo 3
Quando o tronco penetra uma distância adicional
abaixo de
, o empuxo vale
mas o peso é constante
, de modo que a força líquida restauradora é
O trabalho dessa força desde
até
é
Passo 4
Pela conservação de energia, o tronco perde
de energia potencial ao cair, que é convertido no trabalho
:
Cancelando
e isolando
,
Passo 5
No caso dado, o tronco flutua “meio submerso” em repouso, logo
e
. Assim
A profundidade máxima medida a partir da superfície da água é então
Resposta
A profundidade adicional em relação ao equilíbrio é
e, como
, tem-se