Problema 1.4 Um tronco de madeira flutua verticalmente, meio submerso, quando colocado na água. Se eu o deixar cair de uma altura h na água, qual a profundidade que ele afunda antes de voltar à superfície?

Passo 1

O enunciado trata de um tronco de madeira de densidade \rho_{\rm t} e comprimento L que flutua verticalmente, meio submerso, em água de densidade \rho. Quando está em repouso, a parte submersa tem altura d_0. Solicitam a profundidade máxima que o tronco atinge ao ser deixado cair de uma altura h sobre a água, antes de voltar à superfície. Vamos usar a conservação de energia e a força de empuxo variável para resolver.

Passo 2

Em equilíbrio estático o empuxo iguala o peso:
\rho\,g\,A\,d_{0} \;=\;\rho_{\rm t}\,g\,A\,L,
onde A é a área da seção transversal do tronco. Cancelando gA,
d_{0} \;=\;\frac{\rho_{\rm t}}{\rho}\,L.

Passo 3

Quando o tronco penetra uma distância adicional x abaixo de d_{0}, o empuxo vale
F_{\rm emp}(z)=\rho\,g\,A\,(d_{0}+z),
mas o peso é constante mg=\rho_{\rm t}gAL, de modo que a força líquida restauradora é
F_{\rm res}(z)=F_{\rm emp}(z)-mg =\rho\,g\,A\,z.
O trabalho dessa força desde z=0 até z=x é
W=\int_{0}^{x} \rho\,g\,A\,z\,dz =\tfrac12\,\rho\,g\,A\,x^{2}.

Passo 4

Pela conservação de energia, o tronco perde mg\,h de energia potencial ao cair, que é convertido no trabalho W:
\tfrac12\,\rho\,g\,A\,x^{2}=m\,g\,h =\rho_{\rm t}\,g\,A\,L\,h.
Cancelando gA e isolando x,
x^{2} =2\,\frac{\rho_{\rm t}}{\rho}\,L\,h \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{2\,d_{0}\,h}.

Passo 5

No caso dado, o tronco flutua “meio submerso” em repouso, logo \rho_{\rm t}/\rho=1/2 e d_{0}=L/2. Assim
x=\sqrt{2\,(L/2)\,h} =\sqrt{L\,h}.
A profundidade máxima medida a partir da superfície da água é então
d_{\max}=d_{0}+x =\frac{L}{2}+\sqrt{L\,h}.

Resposta

A profundidade adicional em relação ao equilíbrio é
x=\sqrt{2\,d_{0}\,h},
e, como d_{0}=L/2, tem-se
x=\sqrt{L\,h}, \quad d_{\max}=\frac{L}{2}+\sqrt{L\,h}.

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