Exercício 1.6 Um grande balde cilíndrico com área de base A e altura H está cheio de água. Um pequeno orifício na área a é feito no fundo do balde para que a água comece a vazar. Quanto tempo leva para o balde ficar vazio?

Passo 1

O enunciado diz que temos um balde cilíndrico de área de base A e altura inicial de água H. Faz-se um orifício de área a no fundo e a água escoa até o balde ficar vazio. O conteúdo é escoamento por orifício pequeno (Lei de Torricelli) e equações diferenciais de taxas de variação de volume.

Passo 2

Pela energia (ou Bernoulli) entre a superfície livre (altura h) e o orifício: a velocidade de saída da água vale
v = \sqrt{2\,g\,h}.
Isso porque a pressão na superfície e no orifício é atmosférica, e a diferença de energia potencial se converte em energia cinética.

Passo 3

O volume de água que sai por segundo é Q = a\,v. Como o volume dentro do balde é V = A\,h, temos
\frac{dV}{dt} \;=\; A\,\frac{dh}{dt} \;=\; -\,Q \;=\;-\,a\,\sqrt{2\,g\,h}.
Então a equação diferencial para h(t) é
\frac{dh}{dt} \;=\;-\,\frac{a}{A}\,\sqrt{2\,g\,h}.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de t=0 (quando h=H) até t=T (quando h=0):
\int_{H}^{0} \frac{dh}{\sqrt{h}} \;=\; -\,\frac{a}{A}\,\sqrt{2\,g}\;\int_{0}^{T} dt.
O lado esquerdo é
\int_{H}^{0} h^{-1/2}\,dh = \bigl[\,2\sqrt{h}\bigr]_{H}^{0} = -2\,\sqrt{H},
e o direito é -\,(a/A)\sqrt{2g}\;T.

Passo 5

Igualando as duas expressões:
-2\,\sqrt{H} = -\,\frac{a}{A}\,\sqrt{2\,g}\;T \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\,\sqrt{H}}{(a/A)\,\sqrt{2\,g}} = \frac{2\,A}{a\,\sqrt{2\,g}}\,\sqrt{H} = \frac{A}{a}\,\sqrt{\frac{2\,H}{g}}.

Resposta

O tempo até o balde esvaziar é
T = \frac{A}{a}\,\sqrt{\frac{2\,H}{g}}.

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