Exercício 1.6 Um grande balde cilíndrico com área de base A e altura H está cheio de água. Um pequeno orifício na área a é feito no fundo do balde para que a água comece a vazar. Quanto tempo leva para o balde ficar vazio?
Passo 1
O enunciado diz que temos um balde cilíndrico de área de base
e altura inicial de água
. Faz-se um orifício de área
no fundo e a água escoa até o balde ficar vazio. O conteúdo é escoamento por orifício pequeno (Lei de Torricelli) e equações diferenciais de taxas de variação de volume.
Passo 2
Pela energia (ou Bernoulli) entre a superfície livre (altura
) e o orifício: a velocidade de saída da água vale
Isso porque a pressão na superfície e no orifício é atmosférica, e a diferença de energia potencial se converte em energia cinética.
Passo 3
O volume de água que sai por segundo é
. Como o volume dentro do balde é
, temos
Então a equação diferencial para
é
Passo 4
Separamos variáveis e integramos de
(quando
) até
(quando
):
O lado esquerdo é
e o direito é
.
Passo 5
Igualando as duas expressões:
Resposta
O tempo até o balde esvaziar é