Considere três vetores linearmente independentes \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} em um espaço euclidiano tridimensional, construa uma base ortonormal a partir deles.

Passo 1

O problema pede para, dados três vetores linearmente independentes \vec a,\vec b,\vec c em \mathbb{R}^3, construir uma base ortonormal. O método clássico para isso é o processo de Gram–Schmidt, que usa produto escalar, norma de vetores e projeções.

Passo 2

Começamos normalizando \vec a. Definimos
\vec e_{1} = \frac{\vec a}{\|\vec a\|},
onde \|\vec a\| = \sqrt{\vec a\cdot\vec a}. Assim \vec e_{1} tem norma 1 e é paralelo a \vec a.

Passo 3

Agora retiramos de \vec b sua componente ao longo de \vec e_{1}. Chamamos
\vec u_{2} = \vec b - (\vec b\cdot\vec e_{1})\,\vec e_{1}.
Esse vetor \vec u_{2} é ortogonal a \vec e_{1}. Para obter o segundo vetor unitário, normalizamos:
\vec e_{2} = \frac{\vec u_{2}}{\|\vec u_{2}\|}.

Passo 4

Por fim, eliminamos de \vec c as componentes ao longo de \vec e_{1} e \vec e_{2}. Definimos
\vec u_{3} = \vec c - (\vec c\cdot\vec e_{1})\,\vec e_{1} - (\vec c\cdot\vec e_{2})\,\vec e_{2},
que é ortogonal tanto a \vec e_{1} quanto a \vec e_{2}. Normalizando, obtemos
\vec e_{3} = \frac{\vec u_{3}}{\|\vec u_{3}\|}.

Resposta

Uma base ortonormal construída a partir de \vec a,\vec b,\vec c é
\bigl\{\vec e_{1},\,\vec e_{2},\,\vec e_{3}\bigr\},
onde
\vec e_{1} = \frac{\vec a}{\|\vec a\|},\quad \vec e_{2} = \frac{\vec b - (\vec b\cdot\vec e_{1})\,\vec e_{1}}{\bigl\|\vec b - (\vec b\cdot\vec e_{1})\,\vec e_{1}\bigr\|},\quad \vec e_{3} = \frac{\vec c - (\vec c\cdot\vec e_{1})\,\vec e_{1} - (\vec c\cdot\vec e_{2})\,\vec e_{2}}{\bigl\|\vec c - (\vec c\cdot\vec e_{1})\,\vec e_{1} - (\vec c\cdot\vec e_{2})\,\vec e_{2}\bigr\|}.

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