Problema 7. Utilize a equação de onda para determinar a veloci-
dade de propagação das seguintes ondas:
dade de propagação das seguintes ondas:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade de propagação de duas ondas dadas pelas expressões abaixo (copiei exatamente do enunciado):
O que é pedido: encontrar a velocidade de propagação (valor numérico e unidades) para cada uma das duas expressões.
Passo 2
Qual é a ideia que vamos usar (passo-a-passo da teoria necessária).
- Muitas ondas viajantes harmônicas aparecem na forma
Aqui
é a amplitude (unidade de comprimento),
é o número de onda (unidade
) e
é a frequência angular (unidade
).
- Explique por que a velocidade é
. A fase da onda é . Um ponto de fase constante satisfaz . Diferenciando em relação ao tempo:
Logo
Essa derivada
é a velocidade do ponto de fase (a velocidade de propagação da onda). Se a fase fosse
o sinal muda e a velocidade seria
(movimento no sentido negativo de
). Assim, para ondas da forma
a velocidade de propagação é
- Lembretes úteis de conversão:
- O número de onda relaciona-se com comprimento de onda por
. - A frequência (em Hz) é
. - Unidades:
tem unidade .
- O número de onda relaciona-se com comprimento de onda por
Passo 3
Aplicando a teoria a
.
- Identifico os parâmetros lendo a fórmula:
- Amplitude
(não precisa converter para calcular a velocidade, mas se quiser em metros ). - Número de onda
. - Frequência angular
.
- Amplitude
- Como a função está na forma
, usamos
- Calcule:
- Interpretação:
e a forma indica propagação no sentido positivo de . - (Opcional de reforço: comprimento de onda
; frequência .)
Passo 4
Analisando
e escolha do procedimento.
- Observação importante sobre a expressão dada: o enunciado escreve
com um símbolo de raiz quadrada: . Essa forma NÃO é a forma harmônica padrão . Se a expressão fosse realmente uma raiz quadrada, aquilo não representa uma onda harmônica simples e a fórmula (obtida pela conservação de fase) não é aplicável da mesma maneira; não há uma frequência angular no mesmo sentido. - Porém, em problemas típicos de equação de onda e pela simetria com
, o mais provável é que tenha ocorrido uma leitura/ digitação e a intenção era ter o seno: . Vou adotar essa interpretação (assumir que o símbolo correto é ) porque só assim a pergunta “utilize a equação de onda para determinar a velocidade” faz sentido. Se, por acaso, a expressão fosse realmente uma raiz, não há como aplicar diretamente a fórmula de velocidade de uma onda harmônica e seria necessário mais contexto. - Assumindo então a forma harmônica
identifico:
-
, -
. - Calculo a velocidade pela mesma fórmula:
- Interpretação:
e o sinal indica propagação no sentido positivo de . - (Opcional de reforço:
; .)
Passo 5
Checagem de unidades e conclusão rápida:
- Verifiquei as unidades:
, portanto os valores obtidos têm as unidades corretas. - Resumo prático: usar a relação
após identificar e dentro do argumento da função seno. Se a função não estiver na forma harmônica (por exemplo, se for realmente uma raiz), deve-se avisar que a fórmula não vale sem mais contexto — por isso interpretei como seno, que é a interpretação consistente com o enunciado típico.