Problema 7. Utilize a equação de onda para determinar a veloci-
dade de propagação das seguintes ondas:
\begin{aligned} & y_{1}(x, t)=(3,00 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}\left[\left(4,00 \mathrm{~m}^{-1}\right) x-\left(7,00 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right] \\ & y_{2}(x, t)=(2,00 \mathrm{~mm}) \sqrt{\left(20 \mathrm{~m}^{-1}\right) x-\left(4,0 \mathrm{~s}^{-1}\right) t} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade de propagação de duas ondas dadas pelas expressões abaixo (copiei exatamente do enunciado):
y_{1}(x,t)=(3,00\\ \mathrm{mm})\operatorname{sen}\bigl[(4,00\\ \mathrm{m}^{-1})x-(7,00\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr]
y_{2}(x,t)=(2,00\\ \mathrm{mm})\sqrt{(20\\ \mathrm{m}^{-1})x-(4,0\\ \mathrm{s}^{-1})t}
O que é pedido: encontrar a velocidade de propagação (valor numérico e unidades) para cada uma das duas expressões.

Passo 2

Qual é a ideia que vamos usar (passo-a-passo da teoria necessária).
  • Muitas ondas viajantes harmônicas aparecem na forma
y(x,t)=A\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t\bigr)\quad\text{ou}\quad y(x,t)=A\operatorname{sen}\bigl(kx+\omega t\bigr).
Aqui A é a amplitude (unidade de comprimento), k é o número de onda (unidade \mathrm{m}^{-1}) e \omega é a frequência angular (unidade \mathrm{s}^{-1}).
  • Explique por que a velocidade é \omega/k. A fase da onda é \varphi=kx-\omega t. Um ponto de fase constante satisfaz \varphi=\text{const}. Diferenciando em relação ao tempo:
\frac{d}{dt}(kx-\omega t)=0 \quad\Rightarrow\quad k\frac{dx}{dt}-\omega=0.
Logo
\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}.
Essa derivada \frac{dx}{dt} é a velocidade do ponto de fase (a velocidade de propagação da onda). Se a fase fosse kx+\omega t o sinal muda e a velocidade seria -\omega/k (movimento no sentido negativo de x). Assim, para ondas da forma \operatorname{sen}(kx-\omega t) a velocidade de propagação é
v=\frac{\omega}{k}.
  • Lembretes úteis de conversão:
    • O número de onda relaciona-se com comprimento de onda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
    • A frequência (em Hz) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
    • Unidades: \dfrac{\omega}{k} tem unidade \mathrm{s}^{-1}/\mathrm{m}^{-1}=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Aplicando a teoria a y_{1}(x,t).
  • Identifico os parâmetros lendo a fórmula:
    • Amplitude A=3,00\\ \mathrm{mm} (não precisa converter para calcular a velocidade, mas se quiser em metros A=3,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
    • Número de onda k=4,00\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • Frequência angular \omega=7,00\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Como a função está na forma \operatorname{sen}(kx-\omega t), usamos
v_{1}=\frac{\omega}{k}.
  • Calcule:
v_{1}=\frac{7,00\\ \mathrm{s}^{-1}}{4,00\\ \mathrm{m}^{-1}}=\frac{7,00}{4,00}\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}=1,75\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Interpretação: v_{1}=1,75\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} e a forma kx-\omega t indica propagação no sentido positivo de x.
  • (Opcional de reforço: comprimento de onda \lambda_{1}=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{4,00}=\dfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{m}\approx1,571\\ \mathrm{m}; frequência f_{1}=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{7,00}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx1,114\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 4

Analisando y_{2}(x,t) e escolha do procedimento.
  • Observação importante sobre a expressão dada: o enunciado escreve y_{2} com um símbolo de raiz quadrada: \sqrt{(20\\ \mathrm{m}^{-1})x-(4,0\\ \mathrm{s}^{-1})t}. Essa forma NÃO é a forma harmônica padrão \operatorname{sen}(kx-\omega t). Se a expressão fosse realmente uma raiz quadrada, aquilo não representa uma onda harmônica simples e a fórmula v=\omega/k (obtida pela conservação de fase) não é aplicável da mesma maneira; não há uma frequência angular \omega no mesmo sentido.
  • Porém, em problemas típicos de equação de onda e pela simetria com y_{1}, o mais provável é que tenha ocorrido uma leitura/ digitação e a intenção era ter o seno: \operatorname{sen}\bigl[(20\\ \mathrm{m}^{-1})x-(4,0\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr]. Vou adotar essa interpretação (assumir que o símbolo correto é \operatorname{sen}) porque só assim a pergunta “utilize a equação de onda para determinar a velocidade” faz sentido. Se, por acaso, a expressão fosse realmente uma raiz, não há como aplicar diretamente a fórmula de velocidade de uma onda harmônica e seria necessário mais contexto.
  • Assumindo então a forma harmônica
y_{2}(x,t)=(2,00\\ \mathrm{mm})\operatorname{sen}\bigl[(20\\ \mathrm{m}^{-1})x-(4,0\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr],
identifico:
  • k=20\\ \mathrm{m}^{-1},
  • \omega=4,0\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Calculo a velocidade pela mesma fórmula:
v_{2}=\frac{\omega}{k}=\frac{4,0\\ \mathrm{s}^{-1}}{20\\ \mathrm{m}^{-1}}=\frac{4,0}{20}\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}=0,20\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Interpretação: v_{2}=0,20\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} e o sinal (kx-\omega t) indica propagação no sentido positivo de x.
  • (Opcional de reforço: \lambda_{2}=\dfrac{2\pi}{20}=\dfrac{\pi}{10}\\ \mathrm{m}\approx0,314\\ \mathrm{m}; f_{2}=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{4,0}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,637\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 5

Checagem de unidades e conclusão rápida:
  • Verifiquei as unidades: \dfrac{\mathrm{s}^{-1}}{\mathrm{m}^{-1}}=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}, portanto os valores obtidos têm as unidades corretas.
  • Resumo prático: usar a relação v=\omega/k após identificar k e \omega dentro do argumento da função seno. Se a função não estiver na forma harmônica (por exemplo, se for realmente uma raiz), deve-se avisar que a fórmula não vale sem mais contexto — por isso interpretei y_{2} como seno, que é a interpretação consistente com o enunciado típico.

Resposta

\displaystyle v_{1}=1,75\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}
\displaystyle v_{2}=0,20\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}

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