Exercício 7 - Encontre a solução geral das equações:
y^{\prime \prime}-y=\left(1+e^{-t}\right)^{-2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinary linear de segunda ordem y'' - y = \left(1+e^{-t}\right)^{-2}.
  • Informação dada: termo não-homogêneo \left(1+e^{-t}\right)^{-2} é uma função explícita de t. Não há condições iniciais — então queremos a família geral de soluções com constantes arbitrárias.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e entender por que isso importa.
  • Escrevemos a equação homogênea associada: y'' - y = 0.
  • Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo: r^2 e^{rt} - e^{rt}=0 \quad\Rightarrow\quad r^2-1=0.As raízes são r=\pm 1.
  • Logo uma base de soluções fundamentais é y_1(t)=e^{t},\qquad y_2(t)=e^{-t}.
  • A solução geral da homogênea é, então, y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t},onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Comentário didático rápido: na prova, sempre que aparecer y''-y=0 (ou similar y''+ay'+by=0), tente a substituição y=e^{rt}. As raízes do polinômio característico dão as exponenciais na solução homogênea.

Passo 3

Escolher método para obter uma solução particular e montar as fórmulas.
  • Como o termo do lado direito não é polinomial/exponencial simples nem sen/cos, o método das coeficientes indeterminados não é prático. Usaremos variação de parâmetros — método geral e direto.
  • Para a equação escrita como y'' + p(t)y' + q(t) y = g(t),com p(t)=0, q(t)=-1, g(t)=\left(1+e^{-t}\right)^{-2}, as fórmulas padrão de variação de parâmetros dão: u_1'(t) = -\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)},\qquad u_2'(t) = \frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)},onde W(t) é o Wronskiano de y_1,y_2: W(t)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
  • Aqui y_1=e^{t}, y_2=e^{-t}. Vamos calcular W.

Passo 4

Calcular o Wronskiano e as derivadas u_1',u_2'.
  • Calcular W: W = y_1 y_2' - y_1' y_2 = e^{t}(-e^{-t}) - e^{t} e^{-t} = -1 -1 = -2.
  • Portanto W(t)=-2 (constante).
  • Usando as fórmulas: u_1'(t) = -\frac{g(t)\,y_2(t)}{W} = -\frac{(1+e^{-t})^{-2}\,e^{-t}}{-2} = \frac{1}{2}\,\frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^{2}}.
u_2'(t) = \frac{g(t)\,y_1(t)}{W} = \frac{(1+e^{-t})^{-2}\,e^{t}}{-2} = -\frac{1}{2}\,\frac{e^{t}}{(1+e^{-t})^{2}}.
Explicação das variáveis: u_1(t),u_2(t) são funções que vão multiplicar y_1,y_2 para formar uma solução particular y_p=u_1 y_1 + u_2 y_2. As expressões acima são as derivadas dessas funções; agora precisamos integrá-las.

Passo 5

Integrar u_1'(t) para obter u_1(t). Fazer a substituição correta e mostrar os detalhes.
  • Começamos com u_1'(t)=\frac{1}{2}\,\frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^{2}}.
  • Faça a substituição s=1+e^{-t}. Então ds = -e^{-t}\,dt, logo e^{-t}\,dt = -ds.
  • Assim u_1(t)=\int u_1'(t)\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{-1}{s^{2}}\,ds = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+C.
  • Voltando a t, u_1(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+e^{-t}} + C.
  • Para obter uma solução particular podemos tomar a constante de integração C=0 (qualquer constante seria absorvida pela solução homogênea). Logo escolhemos u_1(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+e^{-t}}.
Observação didática: escolher constantes zero aqui é prática comum porque u_1 y_1 conteria termos que podem ser incorporados nos C_1 e^{t}+C_2 e^{-t}.

Passo 6

Integrar u_2'(t). Usar a substituição z=e^{t} e decompor racionalmente para integrar sem complicação.
  • Começamos com u_2'(t) = -\frac{1}{2}\,\frac{e^{t}}{(1+e^{-t})^{2}}.
  • É conveniente escrever isso em termos de z=e^{t}. Note dz = e^{t} dt. Observe também que 1+e^{-t}=1+1/z=(z+1)/z. Então \frac{e^{t}}{(1+e^{-t})^{2}}\,dt = \frac{dz}{\bigl((z+1)/z\bigr)^{2}} = \frac{z^{2}}{(z+1)^{2}}\,dz.
  • Logo u_2(t)=\int u_2'(t)\,dt = -\frac{1}{2}\int \frac{z^{2}}{(z+1)^{2}}\,dz,onde z=e^{t}.
  • Faça a decomposição algébrica \frac{z^{2}}{(z+1)^{2}} = 1 - \frac{2}{z+1} + \frac{1}{(z+1)^{2}}.(Verificação rápida: expandindo o lado direito volta z^{2}/(z+1)^{2}.)
  • Integrando termo a termo: \int \frac{z^{2}}{(z+1)^{2}}\,dz = \int \left(1 - \frac{2}{z+1} + \frac{1}{(z+1)^{2}}\right)dz = z - 2\ln(z+1) -\frac{1}{z+1} + C.
  • Multiplicando por -\tfrac{1}{2} e voltando a t com z=e^{t}, e escolhendo a constante de integração igual a zero (pois parte constante pode ser absorvida), u_2(t) = -\frac{1}{2}e^{t} + \ln\bigl(1+e^{t}\bigr) + \frac{1}{2}\,\frac{1}{1+e^{t}}.

Passo 7

Construir y_p a partir de u_1,u_2 e simplificar a expressão.
  • A solução particular pela variação de parâmetros é y_p(t)=u_1(t)\,y_1(t)+u_2(t)\,y_2(t).Substituindo y_1=e^{t},y_2=e^{-t}, y_p(t)=u_1(t)e^{t}+u_2(t)e^{-t}.
  • Substituindo as formas encontradas (usar z=e^{t} se preferir) e efetuando álgebra (passos mostrados abaixo resumidos mas sem pular contas essenciais), chega-se a: y_p(t)=\frac{1}{2}e^{t}-1+\frac{1}{2}e^{-t}+e^{-t}\ln\bigl(1+e^{t}\bigr).
  • Observação útil: os termos \tfrac{1}{2}e^{t} e \tfrac{1}{2}e^{-t} pertencem ao espaço das soluções homogêneas (são combinações de e^{t} e e^{-t}), portanto podem ser absorvidos pelos constantes C_1,C_2. Assim uma forma mais enxuta para uma solução particular (equivalente modulo solução homogênea) é y_p(t) = -1 + e^{-t}\ln\bigl(1+e^{t}\bigr).
  • É sempre bom (na prova) verificar: calculando y_p''-y_p para esta expressão obtém-se exatamente (1+e^{-t})^{-2} — a verificação direta passa por derivar com z=e^{t} e simplificar; esse cálculo confirma que y_p é correta.

Passo 8

Escrever a solução geral combinando homogênea e particular.
  • A solução geral é y(t) = y_h(t) + y_p(t).
  • Usando a forma simplificada de y_p (retirando componentes homogêneas), y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t} - 1 + e^{-t}\ln\bigl(1+e^{t}\bigr),com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}-1+e^{-t}\ln\bigl(1+e^{t}\bigr)

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