O chamado tensor de campo eletromagnético \overleftrightarrow{F} tem componentes \left\{F^{\mu \nu}\right\} num determinado referencial inercial dadas por
onde \left(E_{x}, E_{y}, E_{z}\right) e \left(B_{x}, B_{y}, B_{z}\right) são as componentes cartesianas dos campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B}, respectivamente, nesse mesmo referencial.
(a) (3,0) Calcule as componentes \left\{F^{\overline{\mu \nu}}\right\} do tensor medidas por um observador inercial \overline{\mathcal{O}} que se move com respeito a \mathcal{O} com 3 -velocidade \boldsymbol{v}.
(b) (3,0) Determine as componentes \left\{F^{\mu}{ }_{\nu}\right\} do tensor \overleftrightarrow{F}^{*} do tipo \binom{1}{1} associado.
(c) (2,0) Escreva \overleftrightarrow{F} e \overleftrightarrow{F}^{*} em termos de 4-vetores e/ou 1-formas de base.
(d) (2,0) Determine F^{(\mu \nu)} e F^{[\mu \nu]}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, e as convenções que vou assumir (isso é necessário para poder calcular sem pedir nada a mais).
O enunciado dá as componentes \{F^{\mu\nu}\} do tensor eletromagnético no referencial \mathcal{O} na forma matricial
onde \mathbf{E}=(E_x,E_y,E_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) são os campos medidos por \mathcal{O}.
O enunciado pede:
(a) as componentes \{F^{\bar\mu\bar\nu}\} medidas por um observador \overline{\mathcal{O}} que se move em relação a \mathcal{O} com 3-velocidade \boldsymbol{v};
(b) as componentes \{F^{\mu}{}_{\nu}\} do tensor do tipo \binom{1}{1} associado (isto é, com um índice levantado);
(c) escrever \overleftrightarrow{F} e \overleftrightarrow{F}^{*} em termos de 4-vetores e/ou 1-formas de base;
(d) determinar F^{(\mu\nu)} e F^{[\mu\nu]}.
Convenções que assumo (importante):
Unidades naturais com c=1.
Métrica de Minkowski \eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1).
A transformação de Lorentz que leva componentes de \mathcal{O} para \overline{\mathcal{O}} é dada por
Breve explicação do que isso faz: \Lambda leva componentes contravariantes do frame \mathcal{O} para as do frame \overline{\mathcal{O}} via x^{\bar\mu}=\Lambda^{\bar\mu}{}_{\nu}x^\nu. Usaremos essa mesma \Lambda para transformar F^{\mu\nu}: F^{\bar\mu\bar\nu}=\Lambda^{\bar\mu}{}_{\alpha}\Lambda^{\bar\nu}{}_{\beta}F^{\alpha\beta}.
Relação entre F^{\mu\nu} e os vetores \mathbf{E},\mathbf{B} no frame \mathcal{O} (já dada, mas recapitular):
Isto torna as fórmulas de transformação mais simples (componentes paralelas permanecem simples; as perpendiculares ganham fator \gamma e cruzamentos).
Com essas ferramentas, agora calculo as componentes transformadas.]
Passo 3
Cálculo de F^{\bar\mu\bar\nu}. Objetivo prático: encontrar as novas componentes elétricas \mathbf{E}' e magnéticas \mathbf{B}' que aparecem na matriz de F^{\bar\mu\bar\nu}. Vamos calcular as componentes \bar 0\bar i (que representam E'_i) e \bar i\bar j (que representam B').
Agora note que F^{0\beta} tem apenas espaço para \beta=j com F^{0j}=E_j, e F^{k\beta} combina com F^{k0}=-E_k e F^{kj}=\varepsilon^{kj\ell}B_\ell. Depois de organizar (é um pouco de álgebra de componentes), o resultado vetorial simplificado fica mais elegante se usarmos a decomposição paralelo/perpendicular:
A componente paralela de \mathbf{E} a \boldsymbol{v} não é afetada por fatores \gamma nos termos de cruzamento; a componente perpendicular recebe fator \gamma e aparece o termo \boldsymbol{v}\times\mathbf{B}.
Em palavras: a componente de \mathbf{E} paralela a \boldsymbol{v} permanece igual, enquanto a componente perpendicular é multiplicada por \gamma e ganha o termo \gamma\,\boldsymbol{v}\times\mathbf{B}.
Analogamente, calculando F^{\bar i\bar j} (ou mais diretamente usando a dualidade entre as partes espaciais e \mathbf{B}) obtemos
e essas duas formas são equivalentes (a segunda é útil quando se quer expressão em termos de \boldsymbol{v} sem projetar em paralelo/perp).
Portanto a matriz F^{\bar\mu\bar\nu} no referencial \overline{\mathcal{O}} mantém a mesma estrutura antisimétrica, mas com \mathbf{E} e \mathbf{B} substituídos por \mathbf{E}' e \mathbf{B}':
onde \mathbf{E}' e \mathbf{B}' são dados por uma das fórmulas acima.]
Passo 4
Exemplificando as componentes: se precisar de componentes escalares explícitas em termos de v_i,E_i,B_i, da forma com projeção perpendicular/paralela se tem
Isto resolve o item (a): F^{\bar\mu\bar\nu} tem a mesma forma matricial mas com \mathbf{E}',\mathbf{B}' dados acima.
Passo 5
Cálculo de F^{\mu}{}_{\nu} (tensor do tipo \binom{1}{1}). Mini-aula: como levantar/abaixar índices com a métrica diagonal \eta_{\alpha\beta}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1).
Para obter F^{\mu}{}_{\nu} a partir de F^{\mu\nu} usamos
F^{\mu}{}_{\nu}=F^{\mu\sigma}\,\eta_{\sigma\nu}.
Na prática, isto corresponde a multiplicar cada coluna \nu da matriz de F^{\mu\nu} pelo fator \eta_{\nu\nu} (porque a métrica é diagonal): colunas \nu=0 ficam multiplicadas por +1, e colunas \nu=1,2,3 por -1.
Aplicando isso à matriz inicial de F^{\mu\nu} (a matriz dada no enunciado), obtemos a matriz de F^{\mu}{}_{\nu}:
onde i,j,k=1,2,3 e \varepsilon_{ijk} é o Levi-Civita tridimensional (\varepsilon_{123}=+1). Essa é uma forma muito prática: o termo dx^0\wedge dx^i contém os componentes elétricos e o termo espacial dx^i\wedge dx^j contém os componentes magnéticos.
Decomposição covariante usando o 4-velocidade do observador u^\mu (no frame \mathcal{O} de repouso, u^\mu=(1,0,0,0)):
onde E^\mu e B^\mu são 4-vetores espacias (E^\mu u_\mu=0, B^\mu u_\mu=0) cujas componentes espaciais são os campos \mathbf{E} e \mathbf{B}, e \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} é o tensor totalmente anti-simétrico de 4-dimensões com \varepsilon^{0ijk}=\varepsilon^{ijk}. Esta fórmula é muito útil porque mostra que, dado o 4-velocidade de um observador, pode-se extrair E^\mu=F^{\mu\nu}u_\nu e B^\mu=\tfrac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}u_\nu F_{\alpha\beta}.
Observação: a forma acima é a expressão covariante padrão que permite escrever \overleftrightarrow{F} em termos de 4-vetores (o u^\mu de um observador define a separação entre elétrico e magnético).
(a) \displaystyle F^{\bar\mu\bar\nu} tem a mesma forma matricial antisimétrica que F^{\mu\nu} mas com \mathbf{E},\mathbf{B} substituídos por \mathbf{E}',\mathbf{B}', onde (com \gamma=(1-v^{2})^{-1/2})