Resolva
u_{x}=0, u_{y}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as funções u(x,y) que satisfazem o sistema de equações diferenciais parciais
u_{x}=0, \quad u_{y}=0.
Este é um problema de PDE de primeira ordem e vamos resolver integrando cada condição.

Passo 2

A condição
u_{x}=0
significa que a derivada parcial de u em relação a x é nula, ou seja, u não depende de x. Logo, podemos escrever
u(x,y)=\varphi(y),
onde \varphi é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora impomos a condição
u_{y}=0.
Substituindo u(x,y)=\varphi(y), temos
u_{y}=\varphi'(y)=0.
Isto implica que \varphi é constante.

Passo 4

Como \varphi(y) é constante, concluímos que
u(x,y)=C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral do sistema é
u(x,y)=C,
com C constante.

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