Problema de Valor Inicial. Resolva as EDOs
y^{\prime}+2 y=e^{-t} ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condição inicial:
  • Equação: y^{\prime}+2\,y=e^{-t}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todos os t (domínio implícito) e atende à condição y(0)=1.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem:
y^{\prime}+p(t)\,y=g(t),
identificando aqui p(t)=2 e g(t)=e^{-t}. Ou seja, a equação já está na forma padrão:
y^{\prime}+2\,y=e^{-t}.

Passo 3

Apresentar o método que vamos usar (explicação didática do procedimento).
Para uma equação da forma \,y^{\prime}+p(t)\,y=g(t)\,, a técnica mais direta é multiplicar por um fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Por que isso funciona? Porque, ao multiplicar a equação por \mu(t),
\mu(t)\,y^{\prime}+\mu(t)\,p(t)\,y
fica exatamente igual à derivada do produto (\mu(t)\,y), pois \mu'(t)=\mu(t)\,p(t). Assim a equação original multiplica por \mu transforma-se em
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)\,y(t)\big)=\mu(t)\,g(t),
o que pode ser integrado diretamente. Isso evita complicação e é uma técnica padrão para EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Aqui p(t)=2, logo
\mu(t)=\exp\!\left(\int 2\,dt\right)=\exp(2t)=e^{2t}.
Nota: constantes multiplicativas podem ser ignoradas no fator integrante porque se cancelam ao dividir depois.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{2t}. Fazendo isso:
e^{2t}\,y^{\prime}+2\,e^{2t}\,y = e^{2t}\,e^{-t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (por construção do fator integrante), ou seja:
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}\,y\big)=e^{2t}\,e^{-t}.
Simplificando o lado direito:
e^{2t}\,e^{-t}=e^{t}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{2t}\,y\big)\,dt = \int e^{t}\,dt.
A integral do lado esquerdo recupera o próprio produto:
e^{2t}\,y = e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolar y(t):
y(t)=e^{-2t}\big(e^{t}+C\big)=e^{-t}+C\,e^{-2t}.
Essa é a solução geral da EDO (contendo a constante C).

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo t=0 em \,y(t)=e^{-t}+C\,e^{-2t}\,:
y(0)=e^{0}+C\,e^{0}=1+C.
Como y(0)=1, obtemos 1=1+C, portanto C=0.

Passo 9

Substituir C=0 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(t)=e^{-t}.
Verificação rápida (boa prática): calcular y'=-e^{-t} e então
y'+2y=-e^{-t}+2e^{-t}=e^{-t},
que é exatamente o lado direito da equação original, logo a solução está correta. Força aí — fez certinho!

Resposta

y(t)=e^{-t}

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