Problema de Valor Inicial. Resolva as EDOs
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todos os
(domínio implícito) e atende à condição
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem:
identificando aqui
e
. Ou seja, a equação já está na forma padrão:
Passo 3
Apresentar o método que vamos usar (explicação didática do procedimento).
Para uma equação da forma , a técnica mais direta é multiplicar por um fator integrante
definido por
Para uma equação da forma
Por que isso funciona? Porque, ao multiplicar a equação por
,
fica exatamente igual à derivada do produto
, pois
. Assim a equação original multiplica por
transforma-se em
o que pode ser integrado diretamente. Isso evita complicação e é uma técnica padrão para EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Aqui
, logo
Nota: constantes multiplicativas podem ser ignoradas no fator integrante porque se cancelam ao dividir depois.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
O lado esquerdo é a derivada do produto (por construção do fator integrante), ou seja:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo recupera o próprio produto:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolar
:
Essa é a solução geral da EDO (contendo a constante
).
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos
, portanto
.
Passo 9
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Verificação rápida (boa prática): calcular
e então
que é exatamente o lado direito da equação original, logo a solução está correta. Força aí — fez certinho!