O problema de valor inicial
y^{\prime}(x)=2 x y, \quad y(0)=1
admite uma única solução dada por y(x)=e^{x^{2}}. Em x=1 temos que y(1)=e. Utilizando apenas um passo a partir da condição inicial, calcule uma aproximação para e utilizando o método de Euler, o método de Runge-Kutta de segunda ordem e o método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(x)=2\,x\,y,\quad y(0)=1
cuja solução exata é y(x)=e^{x^2}, de modo que y(1)=e. Queremos aproximar y(1) com um único passo de tamanho h=1 usando:
– Método de Euler explícito
– Método de Runge–Kutta de segunda ordem (midpoint)
– Método de Runge–Kutta de quarta ordem

Passo 2

Método de Euler:
A fórmula é
y_{1}=y_{0}+h\,f(x_{0},y_{0}).
Aqui x_{0}=0, y_{0}=1, h=1 e f(x,y)=2xy. Logo
y_{1}=1+1\cdot f(0,1)=1+1\cdot(2\cdot0\cdot1)=1.

Passo 3

Método de Runge–Kutta de segunda ordem (midpoint):
Calcule
k_{1}=f(x_{0},y_{0})=2\cdot0\cdot1=0,
k_{2}=f\bigl(x_{0}+\tfrac h2,\;y_{0}+\tfrac h2\,k_{1}\bigr) =f\bigl(0{,}5,\;1+0{,}5\cdot0\bigr) =2\cdot0{,}5\cdot1=1.
Então
y_{1}=y_{0}+h\,k_{2}=1+1\cdot1=2.

Passo 4

Método de Runge–Kutta de quarta ordem:
Calcule
k_{1}=f(0,1)=0,
k_{2}=f\bigl(0{,}5,\;1+0{,}5\cdot k_{1}\bigr) =f(0{,}5,1)=1,
k_{3}=f\bigl(0{,}5,\;1+0{,}5\cdot k_{2}\bigr) =f(0{,}5,1{,}5)=2\cdot0{,}5\cdot1{,}5=1{,}5,
k_{4}=f\bigl(1,\;1+1\cdot k_{3}\bigr) =f(1,2{,}5)=2\cdot1\cdot2{,}5=5.
A fórmula final é
y_{1} =1+\frac{1}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr) =1+\frac{0+2\cdot1+2\cdot1{,}5+5}{6} =1+\frac{10}{6} =\frac{8}{3}.

Resposta

Aproximações de e=y(1):
Euler: 1
RK2 (midpoint): 2
RK4: \tfrac{8}{3}

Exercícios relacionados