O problema de valor inicial
admite uma única solução dada por
. Em
temos que
. Utilizando apenas um passo a partir da condição inicial, calcule uma aproximação para
utilizando o método de Euler, o método de Runge-Kutta de segunda ordem e o método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
cuja solução exata é
, de modo que
. Queremos aproximar
com um único passo de tamanho
usando:
– Método de Euler explícito
– Método de Runge–Kutta de segunda ordem (midpoint)
– Método de Runge–Kutta de quarta ordem
– Método de Euler explícito
– Método de Runge–Kutta de segunda ordem (midpoint)
– Método de Runge–Kutta de quarta ordem
Passo 2
Método de Euler:
A fórmula é
A fórmula é
Aqui
,
,
e
. Logo
Passo 3
Método de Runge–Kutta de segunda ordem (midpoint):
Calcule
Calcule
Então
Passo 4
Método de Runge–Kutta de quarta ordem:
Calcule
Calcule
A fórmula final é
Resposta
Aproximações de
:
Euler:
RK2 (midpoint):
RK4:
Euler:
RK2 (midpoint):
RK4: