Seja a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
y^{\prime}(x)+P(x) y=Q(x)
Utilize o teorema de Picard para mostrar que se P(x) e Q(x) são contínuas, existe uma única solução da equação diferencial em torno da condição inicial y\left(x_{0}\right)=y_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, via teorema de Picard–Lindelöf, que a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x)
com condição inicial y(x_{0})=y_{0} tem solução única num intervalo em torno de x_{0}, desde que P e Q sejam contínuas. O conteúdo que vamos usar é a formulação padrão do teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial y'=f(x,y), y(x_{0})=y_{0}.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y'=f(x,y),
onde definimos
f(x,y)=Q(x)-P(x)\,y.
Assim, nosso PVI fica y'=f(x,y), y(x_{0})=y_{0}.

Passo 3

Como P e Q são contínuas num intervalo aberto I contendo x_{0}, segue que
f(x,y)=Q(x)-P(x)\,y
é contínua em (x,y) em qualquer conjunto compacto do tipo
R = [x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b].

Passo 4

Para aplicar Picard precisamos também de Lipschitz em y. Note que
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -P(x),
e como P é contínua em [x_{0}-a,x_{0}+a], existe constante
L = \max_{x\in[x_{0}-a,x_{0}+a]} \bigl|P(x)\bigr|
tal que para quaisquer y_{1},y_{2}\in[y_{0}-b,y_{0}+b] vale
\bigl|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})\bigr| = \bigl|P(x)\bigr|\;\bigl|y_{1}-y_{2}\bigr|\le L\,\bigl|y_{1}-y_{2}\bigr|.
Logo f é Lipschitz em y no retângulo R.

Passo 5

Pelo teorema de Picard–Lindelöf, se f é contínua em R e Lipschitz em y em R, então existe um subintervalo [x_{0}-h,x_{0}+h]\subseteq[x_{0}-a,x_{0}+a] onde o problema de valor inicial tem solução única.

Resposta

Concluímos que, supondo P e Q contínuas, o PVI
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x),\quad y(x_{0})=y_{0}
possui solução única em algum intervalo em torno de x_{0}, conforme garante o teorema de Picard–Lindelöf.

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