Seja o problema de valor inicial
x y^{\prime}(x)+y=y^{2}, \quad y(0)=1 .
Verifique que toda função da forma y(x)=\frac{1}{1-C x} é uma solução do problema de valor inicial. Verifique que este problema de valor inicial não satisfaz as condições do teorema de Peano. Este exercício mostra que as condições do teorema de Peano são condições suficientes para a existência de soluções, mas não necessárias.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x\,y'(x)+y(x)=y(x)^{2},\quad y(0)=1.
Pede-se: (i) verificar que toda função da forma
y(x)=\frac{1}{1 - Cx}
é solução desse PVI; (ii) mostrar que não se satisfazem as hipóteses de continuidade exigidas pelo teorema de Peano.

Passo 2

Calculemos a derivada de
y(x)=\frac{1}{1 - Cx}.
Usando regra da cadeia,
y'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(1 - Cx\bigr)^{-1} =C\,(1 - Cx)^{-2}.
Substituindo em x\,y'(x)+y(x):
x\,\frac{C}{(1 - Cx)^{2}} +\frac{1}{1 - Cx} =\frac{xC + (1 - Cx)}{(1 - Cx)^{2}} =\frac{1}{(1 - Cx)^{2}} =\Bigl(\frac{1}{1 - Cx}\Bigr)^{2} =y(x)^{2}.
Logo a equação diferencial é satisfeita.

Passo 3

Verifiquemos a condição inicial: em x=0,
y(0)=\frac{1}{1 - C\cdot 0}=\frac{1}{1}=1,
independentemente de C. Portanto toda família y(x)=1/(1 - Cx) satisfaz y(0)=1.

Passo 4

Para aplicar o teorema de Peano normalmente escrevemos a EDO em forma normal
y'=f(x,y), \quad f(x,y)=\frac{y^{2}-y}{x}.
Porém f(x,y) não está definido em x=0 e nem é contínuo num bairro de (0,1). Assim as hipóteses de continuidade de Peano falham.

Resposta

A família
y(x)=\frac{1}{1 - Cx}
verifica x\,y'+y=y^{2} e y(0)=1 para qualquer constante C. Mas a função
f(x,y)=\frac{y^{2}-y}{x}
não é contínua em x=0, de modo que as hipóteses do teorema de Peano não se satisfazem. Isso ilustra que aquelas hipóteses são suficientes, mas não necessárias, para a existência de soluções.

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