O problema de valor inicial
y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}, \quad y(0)=10^{-7}
Tem uma solução única em uma vizinhança de x=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O problema inicial dá:
y' = 3\,y^{2/3},\qquad y(0)=10^{-7}.
A única pergunta é: existe uma solução única dessa equação diferencial no sentido de valor inicial em alguma vizinhança de x=0? É preciso justificar a resposta.

Passo 2

Vou explicar qual é o critério clássico que geralmente usamos para responder esse tipo de pergunta (sem pular etapas).
Teorema de existência e unicidade (versão prática que uso aqui): se a função
f(x,y)
do lado direito da equação y'=f(x,y) for contínua em uma vizinhança do ponto (x_0,y_0) e for Lipschitz em y (ou seja, existe uma constante L tal que |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2| para todos y_1,y_2 nessa vizinhança), então existe uma única solução que passa por (x_0,y_0), pelo menos em algum intervalo ao redor de x_0.
Explicando os termos de forma bem simples:
  • Continuidade em (x_0,y_0): significa que pequenos arredondamentos em x e y não causam saltos no valor de f.
  • Lipschitz em y: é uma condição que controla a sensibilidade de f frente a variações em y; uma forma prática de verificar é ver se a derivada parcial \partial f/\partial y existe e é limitada naquela vizinhança (se existir e for contínua, então há Lipschitz local).
No nosso caso, a função do lado direito não depende explicitamente de x; ela é
f(y)=3\,y^{2/3}.
Vou analisar a continuidade e a propriedade de Lipschitz em torno do ponto inicial (0,10^{-7}).

Passo 3

Calculo a derivada de f em relação a y (quando definível):
\frac{d}{dy}\bigl(3y^{2/3}\bigr)=3\cdot\frac{2}{3}y^{-1/3}=2\,y^{-1/3}.
Observações importantes:
  • A expressão y^{2/3} está bem definida e é contínua para todo y\in\mathbb{R} (pense em y^{2/3}=(\sqrt[3]{y})^2), portanto f(y) é contínua em todo y.
  • A derivada \,2\,y^{-1/3}\, não está definida (fica singular) em y=0, porque daí aparece y^{-1/3}. Porém, no nosso problema o valor inicial é y(0)=10^{-7}>0. Assim podemos trabalhar em uma vizinhança de y_0=10^{-7} que não contenha 0; por exemplo o intervalo
\left[\tfrac{1}{2}y_0,\;\tfrac{3}{2}y_0\right]=\left[\tfrac{1}{2}\,10^{-7},\;\tfrac{3}{2}\,10^{-7}\right],
onde todos os y são positivos e distantes de zero.
Nessa faixa de y temos \partial f/\partial y=2y^{-1/3} bem definida e contínua. Portanto ela é limitada ali: existe uma constante L tal que para todo y nesse intervalo vale |2y^{-1/3}|\le L. Um valor explícito possível é
L=2\left(\tfrac{1}{2}y_0\right)^{-1/3}=2\cdot 2^{1/3}\,y_0^{-1/3},
porque o supremo de y^{-1/3} no intervalo dado é atingido no menor y=\tfrac12 y_0.
Conclusão dessa etapa: existe um retângulo \{(x,y): |x|<a,\; \tfrac12 y_0\le y\le \tfrac32 y_0\} em cujo interior f é contínua e tem derivada parcial em y limitada, logo f é Lipschitz em y naquele retângulo. Pelo teorema, existe uma única solução que passa por (0,y_0) definida pelo menos para |x|<a (algum a>0).

Passo 4

Para reforçar a intuição e para que você consiga ver concretamente como é a solução (útil na prova), vamos resolver explicitamente a equação — ela é separável.
Partimos de
\frac{dy}{dx}=3\,y^{2/3}.
Separamos variáveis:
y^{-2/3}\,dy = 3\,dx.
Integramos ambos os lados (mostrar passo a passo da integral):
a primitiva de y^{-2/3} em y é 3y^{1/3} porque
\frac{d}{dy}\bigl(3y^{1/3}\bigr)=3\cdot\frac{1}{3}y^{-2/3}=y^{-2/3}.
Assim
3y^{1/3}=3x+C,
ou dividindo por 3,
y^{1/3}=x+C',
onde C' = C/3. Aplicando a condição inicial y(0)=y_0=10^{-7} obtemos
C' = y_0^{1/3}.
Logo a solução explícita é
y(x)=\bigl(x+y_0^{1/3}\bigr)^3=\bigl(x+10^{-7/3}\bigr)^3.

Passo 5

Análise do domínio desta solução e da unicidade: a fórmula obtida define uma função perfeitamente suave (infinitamente diferenciável) em todo x, mas do ponto de vista de manter y>0 (onde usamos a limitação da derivada), note que y(x)>0 enquanto x+y_0^{1/3}>0, isto é para
x>-y_0^{1/3}.
Como y_0^{1/3}=10^{-7/3}>0, existe claramente um intervalo aberto contendo x=0 (por exemplo \bigl(-\tfrac12 y_0^{1/3},\; \tfrac12 y_0^{1/3}\bigr)) no qual a solução é positiva e única. Além disso, a solução obtida por separação coincide com a única solução garantida pelo teorema de existência e unicidade no retângulo escolhido, então não há outra.
Resumo intuitivo: porque o valor inicial é estritamente positivo, estamos longe da singularidade y=0 da derivada \partial f/\partial y, logo em uma pequena vizinhança o lado direito é Lipschitz em y e a solução é única — de fato a temos em fórmula fechada.

Resposta

Sim. Há solução única em uma vizinhança de x=0; explicitamente
y(x)=\bigl(x+10^{-7/3}\bigr)^3.

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