O problema de valor inicial
Tem uma solução única em uma vizinhança de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O problema inicial dá:
A única pergunta é: existe uma solução única dessa equação diferencial no sentido de valor inicial em alguma vizinhança de
? É preciso justificar a resposta.
Passo 2
Vou explicar qual é o critério clássico que geralmente usamos para responder esse tipo de pergunta (sem pular etapas).
Teorema de existência e unicidade (versão prática que uso aqui): se a função
do lado direito da equação
for contínua em uma vizinhança do ponto
e for Lipschitz em
(ou seja, existe uma constante
tal que
para todos
nessa vizinhança), então existe uma única solução que passa por
, pelo menos em algum intervalo ao redor de
.
Explicando os termos de forma bem simples:
- Continuidade em
: significa que pequenos arredondamentos em e não causam saltos no valor de . - Lipschitz em
: é uma condição que controla a sensibilidade de frente a variações em ; uma forma prática de verificar é ver se a derivada parcial existe e é limitada naquela vizinhança (se existir e for contínua, então há Lipschitz local).
No nosso caso, a função do lado direito não depende explicitamente de
; ela é
Vou analisar a continuidade e a propriedade de Lipschitz em torno do ponto inicial
.
Passo 3
Calculo a derivada de
em relação a
(quando definível):
Observações importantes:
- A expressão
está bem definida e é contínua para todo (pense em ), portanto é contínua em todo . - A derivada
não está definida (fica singular) em , porque daí aparece . Porém, no nosso problema o valor inicial é . Assim podemos trabalhar em uma vizinhança de que não contenha ; por exemplo o intervalo
onde todos os
são positivos e distantes de zero.
Nessa faixa de
temos
bem definida e contínua. Portanto ela é limitada ali: existe uma constante
tal que para todo
nesse intervalo vale
. Um valor explícito possível é
porque o supremo de
no intervalo dado é atingido no menor
.
Conclusão dessa etapa: existe um retângulo
em cujo interior
é contínua e tem derivada parcial em
limitada, logo
é Lipschitz em
naquele retângulo. Pelo teorema, existe uma única solução que passa por
definida pelo menos para
(algum
).
Passo 4
Para reforçar a intuição e para que você consiga ver concretamente como é a solução (útil na prova), vamos resolver explicitamente a equação — ela é separável.
Partimos de
Separamos variáveis:
Integramos ambos os lados (mostrar passo a passo da integral):
a primitiva de em
é
porque
a primitiva de
Assim
ou dividindo por
,
onde
. Aplicando a condição inicial
obtemos
Logo a solução explícita é
Passo 5
Análise do domínio desta solução e da unicidade: a fórmula obtida define uma função perfeitamente suave (infinitamente diferenciável) em todo
, mas do ponto de vista de manter
(onde usamos a limitação da derivada), note que
enquanto
, isto é para
Como
, existe claramente um intervalo aberto contendo
(por exemplo
) no qual a solução é positiva e única. Além disso, a solução obtida por separação coincide com a única solução garantida pelo teorema de existência e unicidade no retângulo escolhido, então não há outra.
Resumo intuitivo: porque o valor inicial é estritamente positivo, estamos longe da singularidade
da derivada
, logo em uma pequena vizinhança o lado direito é Lipschitz em
e a solução é única — de fato a temos em fórmula fechada.
Resposta
Sim. Há solução única em uma vizinhança de
; explicitamente