Considerando
é uma família a dois parâmetros de soluções da equação diferencial
. Encontre a solução do problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e na condição dada igual do enunciado abaixo.
Determine
Determine
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
- A família de soluções fornecida é
, onde e são constantes arbitrárias. - A equação diferencial completa (já satisfeita por essa família) é
(não precisamos derivá‑la agora porque o enunciado já garantiu que a família é solução). - As condições iniciais que devemos impor são:
-
, -
.
-
O que o problema pede: determinar os valores de
e
que satisfazem as duas condições iniciais e, assim, achar a solução particular do problema de valor inicial.
Passo 2
Primeiro passo na resolução: calcular a derivada
da família dada, porque uma das condições envolve
.
- Regra usada: a derivada de
em relação a é . Também a derivada de é . - Aplicando termo a termo à função
, obtemos:
Aqui expliquei cada termo: a derivada de
é
; a de
é
; e a de
é
.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais em
. Vamos avaliar
e
usando as expressões conhecidas.
Calcular
:
A condição
dá a primeira equação:
Calcular
:
A condição
dá a segunda equação:
Passo 4
Temos agora um sistema linear em
e
, mas com fatores exponenciais. Para simplificar a resolução, faço uma substituição temporária para eliminar os expoentes:
Defina
As duas equações escritas em
e
ficam:
Esse sistema é linear e simples de resolver por eliminação.]
Passo 5
Resolver o sistema em
e
:
- Soma as duas equações para eliminar
:
- Logo
- Substituindo em
:
Passo 6
Agora voltamos às constantes
e
usando as definições de
e
:
- Como
, temos
- Como
, temos
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcular
e
. Essas somam
e satisfazem as duas equações anteriores. Tudo coerente.
Passo 7
Escrever a solução particular com os valores encontrados de
e
. Substituindo em
:
Podemos factorar exponenciais para deixar uma forma um pouco mais compacta (opcional):
Essa é a solução do problema de valor inicial que satisfaz
e
.