Considerando y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-2 x é uma família a dois parâmetros de soluções da equação diferencial y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=6 x+4. Encontre a solução do problema de valor inicial que consiste na equação diferencial e na condição dada igual do enunciado abaixo.
Determine
y(-1)=0, \quad y^{\prime}(-1)=1

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • A família de soluções fornecida é y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-2 x, onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias.
  • A equação diferencial completa (já satisfeita por essa família) é y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=6x+4 (não precisamos derivá‑la agora porque o enunciado já garantiu que a família é solução).
  • As condições iniciais que devemos impor são:
    • y(-1)=0,
    • y^{\prime}(-1)=1.
O que o problema pede: determinar os valores de c_{1} e c_{2} que satisfazem as duas condições iniciais e, assim, achar a solução particular do problema de valor inicial.

Passo 2

Primeiro passo na resolução: calcular a derivada y' da família dada, porque uma das condições envolve y'.
  • Regra usada: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}. Também a derivada de -2x é -2.
  • Aplicando termo a termo à função y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-2 x, obtemos:
y' = 3c_{1} e^{3x} - c_{2} e^{-x} - 2.
Aqui expliquei cada termo: a derivada de c_{1} e^{3x} é c_{1}\cdot 3 e^{3x}; a de c_{2} e^{-x} é c_{2}\cdot(-1)e^{-x}; e a de -2x é -2.

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais em x=-1. Vamos avaliar y(-1) e y'(-1) usando as expressões conhecidas.
Calcular y(-1):
y(-1)=c_{1} e^{3(-1)} + c_{2} e^{-(-1)} -2(-1) = c_{1} e^{-3} + c_{2} e + 2.
A condição y(-1)=0 dá a primeira equação:
c_{1} e^{-3} + c_{2} e + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{1} e^{-3} + c_{2} e = -2.
Calcular y'(-1):
y'(-1)=3c_{1} e^{3(-1)} - c_{2} e^{-(-1)} -2 = 3c_{1} e^{-3} - c_{2} e -2.
A condição y'(-1)=1 dá a segunda equação:
3c_{1} e^{-3} - c_{2} e -2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3c_{1} e^{-3} - c_{2} e = 3.

Passo 4

Temos agora um sistema linear em c_{1} e c_{2}, mas com fatores exponenciais. Para simplificar a resolução, faço uma substituição temporária para eliminar os expoentes:
Defina
A := c_{1} e^{-3},\qquad B := c_{2} e.
As duas equações escritas em A e B ficam:
\begin{cases} A + B = -2,\\[4pt] 3A - B = 3. \end{cases}
Esse sistema é linear e simples de resolver por eliminação.]

Passo 5

Resolver o sistema em A e B:
  • Soma as duas equações para eliminar B:
(A + B) + (3A - B) = -2 + 3 \quad\Rightarrow\quad 4A = 1.
  • Logo
A = \dfrac{1}{4}.
  • Substituindo em A + B = -2:
\dfrac{1}{4} + B = -2 \quad\Rightarrow\quad B = -2 - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{9}{4}.

Passo 6

Agora voltamos às constantes c_{1} e c_{2} usando as definições de A e B:
  • Como A = c_{1} e^{-3}, temos
c_{1} = A e^{3} = \dfrac{1}{4} e^{3}.
  • Como B = c_{2} e, temos
c_{2} = B e^{-1} = -\dfrac{9}{4} e^{-1}.
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcular c_{1} e^{-3} = \tfrac{1}{4} e c_{2} e = -\tfrac{9}{4}. Essas somam -2 e satisfazem as duas equações anteriores. Tudo coerente.

Passo 7

Escrever a solução particular com os valores encontrados de c_{1} e c_{2}. Substituindo em y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-2 x:
y(x)=\left(\dfrac{1}{4} e^{3}\right)e^{3x}+\left(-\dfrac{9}{4} e^{-1}\right)e^{-x}-2x.
Podemos factorar exponenciais para deixar uma forma um pouco mais compacta (opcional):
y(x)=\dfrac{1}{4}e^{3(x+1)}-\dfrac{9}{4}e^{-(x+1)}-2x.
Essa é a solução do problema de valor inicial que satisfaz y(-1)=0 e y'(-1)=1.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{4}e^{3(x+1)}-\dfrac{9}{4}e^{-(x+1)}-2x

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