Determine se o Teorema 1 implica que dado problema de valor inicial tem uma solução única.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
As perguntas claras são:
- Reescrever a EDO na forma padrão
e identificar . - Verificar se o Teorema 1 (teorema de existência e unicidade tipo Picard–Lindelöf) pode ser aplicado para garantir solução única para esse PVI.
- Se possível, comentar se a solução garantida é apenas local ou também global.
Todas as informações relevantes dadas pelo enunciado foram listadas acima: a equação diferencial e a condição inicial em
.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão
. Subtraindo
dos dois lados:
Logo, defino
Agora vou lembrar, de forma didática, o que o Teorema 1 (Picard–Lindelöf) pede, em linguagem acessível: para garantir existência e unicidade local da solução do PVI
, é suficiente que
-
seja contínua em e numa vizinhança do ponto ; - e que
seja Lipschitz em nessa vizinhança (ou, como critério prático, que a derivada parcial seja contínua ali).
Explicando o que é Lipschitz: dizer queé Lipschitz em num conjunto significa que existe uma constante tal que, para quaisquer naquele conjunto,
Isto é útil porque impede que as soluções “se separem” rapidamente, garantindo unicidade.
Passo 3
Vou verificar continuidade e a condição de Lipschitz para a nossa função
.
Primeiro, continuidade:
e
são funções contínuas de suas variáveis, logo
é contínua em todo
. Portanto a primeira condição do teorema está satisfeita em qualquer vizinhança de
.
Agora a condição de Lipschitz em
. Calculo a derivada parcial de
em relação a
:
Explico devagar: diferenciar
em relação a
dá
; a parte
é tratada como constante quando derivando em
.
A função
é contínua e, mais ainda, é limitada: para todo
,
Pelo critério da derivada parcial contínua (ou pelo teorema do valor médio aplicado em
com
fixo), isso implica que
é Lipschitz em
com constante
em qualquer conjunto onde consideremos
. Vou demonstrar com a desigualdade do teorema do valor médio: para fixo
e quaisquer
, existe
entre
e
tal que
Tomando o módulo,
Portanto
funciona globalmente:
é globalmente Lipschitz em
.
Passo 4
Comprovação das hipóteses do Teorema 1:
-
é contínua em perto de (na verdade em todo ); -
é Lipschitz em (constante , válidia globalmente).
Logo, pelo Teorema 1 (Picard–Lindelöf), existe uma única solução do problema de valor inicial
definida numa vizinhança de
. Ou seja: o teorema garante existência e unicidade local da solução.
Passo 5
Comentário adicional útil para a prova (não exigido mas bom saber): aqui
é definida e Lipschitz em
para todo
e todo
. Isso permite um passo extra — normalmente abordado em aulas — que estende a solução para todo o eixo temporal: a solução não pode explodir em tempo finito porque
é limitado em módulo. De fato,
Integrando essa desigualdade obtém-se um controle linear em
sobre
, o que impede singularidades em tempo finito; assim a solução global existe e é única para todo
. Em provas, normalmente bastará afirmar que as hipóteses do teorema são satisfeitas para concluir unicidade local; se solicitado, pode-se acrescentar a observação de existência e unicidade global por serem hipóteses válidas em todo
.
Resposta
Sim — pelo Teorema 1 (Picard–Lindelöf) o problema tem solução única; de fato
é contínua e globalmente Lipschitz em
(constante
), logo existe uma única solução (localmente e, neste caso, também globalmente).