Determine se o Teorema 1 implica que dado problema de valor inicial tem uma solução única.
\frac{d x}{d t}+\cos x=\operatorname{sen} t, x(\pi)=0

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\frac{dx}{dt}+\cos x=\sin t,\qquad x(\pi)=0.
As perguntas claras são:
  • Reescrever a EDO na forma padrão \dfrac{dx}{dt}=f(t,x) e identificar f.
  • Verificar se o Teorema 1 (teorema de existência e unicidade tipo Picard–Lindelöf) pode ser aplicado para garantir solução única para esse PVI.
  • Se possível, comentar se a solução garantida é apenas local ou também global.
Todas as informações relevantes dadas pelo enunciado foram listadas acima: a equação diferencial e a condição inicial em t=\pi.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão \dfrac{dx}{dt}=f(t,x). Subtraindo \cos x dos dois lados:
\frac{dx}{dt}=\sin t-\cos x.
Logo, defino
f(t,x)=\sin t-\cos x.
Agora vou lembrar, de forma didática, o que o Teorema 1 (Picard–Lindelöf) pede, em linguagem acessível: para garantir existência e unicidade local da solução do PVI \dfrac{dx}{dt}=f(t,x),\\ x(t_0)=x_0, é suficiente que
  1. f(t,x) seja contínua em t e x numa vizinhança do ponto (t_0,x_0);
  2. e que f seja Lipschitz em x nessa vizinhança (ou, como critério prático, que a derivada parcial \partial f/\partial x seja contínua ali).
    Explicando o que é Lipschitz: dizer que f é Lipschitz em x num conjunto significa que existe uma constante L\ge0 tal que, para quaisquer x_1,x_2 naquele conjunto,
|f(t,x_1)-f(t,x_2)|\le L\,|x_1-x_2|.
Isto é útil porque impede que as soluções “se separem” rapidamente, garantindo unicidade.

Passo 3

Vou verificar continuidade e a condição de Lipschitz para a nossa função f(t,x)=\sin t-\cos x.
Primeiro, continuidade: \sin t e \cos x são funções contínuas de suas variáveis, logo f(t,x) é contínua em todo (t,x)\in\mathbb{R}^2. Portanto a primeira condição do teorema está satisfeita em qualquer vizinhança de (\pi,0).
Agora a condição de Lipschitz em x. Calculo a derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin t-\cos x\big)=\sin x.
Explico devagar: diferenciar -\cos x em relação a x +\sin x; a parte \sin t é tratada como constante quando derivando em x.
A função \sin x é contínua e, mais ainda, é limitada: para todo x,
|\sin x|\le 1.
Pelo critério da derivada parcial contínua (ou pelo teorema do valor médio aplicado em x com t fixo), isso implica que f é Lipschitz em x com constante L=1 em qualquer conjunto onde consideremos x. Vou demonstrar com a desigualdade do teorema do valor médio: para fixo t e quaisquer x_1,x_2, existe c entre x_1 e x_2 tal que
f(t,x_1)-f(t,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,c)\,(x_1-x_2)=\sin c\,(x_1-x_2).
Tomando o módulo,
|f(t,x_1)-f(t,x_2)|=|\sin c|\,|x_1-x_2|\le 1\cdot|x_1-x_2|.
Portanto L=1 funciona globalmente: f é globalmente Lipschitz em x.

Passo 4

Comprovação das hipóteses do Teorema 1:
  • f é contínua em (t,x) perto de (\pi,0) (na verdade em todo \mathbb{R}^2);
  • f é Lipschitz em x (constante L=1, válidia globalmente).
Logo, pelo Teorema 1 (Picard–Lindelöf), existe uma única solução do problema de valor inicial \dfrac{dx}{dt}=\sin t-\cos x,\\ x(\pi)=0 definida numa vizinhança de t=\pi. Ou seja: o teorema garante existência e unicidade local da solução.

Passo 5

Comentário adicional útil para a prova (não exigido mas bom saber): aqui f é definida e Lipschitz em x para todo t e todo x. Isso permite um passo extra — normalmente abordado em aulas — que estende a solução para todo o eixo temporal: a solução não pode explodir em tempo finito porque x' é limitado em módulo. De fato,
|x'(t)|=|\sin t-\cos x(t)|\le |\sin t|+|\cos x(t)|\le 1+1=2.
Integrando essa desigualdade obtém-se um controle linear em t sobre x(t), o que impede singularidades em tempo finito; assim a solução global existe e é única para todo t\in\mathbb{R}. Em provas, normalmente bastará afirmar que as hipóteses do teorema são satisfeitas para concluir unicidade local; se solicitado, pode-se acrescentar a observação de existência e unicidade global por serem hipóteses válidas em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

Sim — pelo Teorema 1 (Picard–Lindelöf) o problema tem solução única; de fato f(t,x)=\sin t-\cos x é contínua e globalmente Lipschitz em x (constante L=1), logo existe uma única solução (localmente e, neste caso, também globalmente).

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