Problema 4 Verifique que
é analítica e calcule sua derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para todo
(ou seja, é uma função constante). As tarefas são:
- Verificar que
é analítica (holomorfa). - Calcular a derivada
.
Informações relevantes dadas:
-
é a mesma constante para qualquer .
Passo 2
Primeiro, preciso lembrar o que significa “analítica” de forma prática:
- Uma função
é analítica (ou holomorfa) num ponto se ela for complexamente diferenciável em e em um pequeno redor de . Se isso vale para todo , diz-se que é inteira. - A definição direta de derivada complexa em
é
onde
tende a
.
- Outra forma, útil quando
é dada por partes reais e imaginárias, é usar as equações de Cauchy–Riemann. Se com e as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem
então
é diferenciável ali e
Vou usar as duas abordagens (definição do limite e Cauchy–Riemann) porque são simples e reforçam a intuição.
Passo 3
Abordagem 1 — definição do limite (mais direta):
Se
para todo
, então para qualquer
e qualquer
temos
Logo o quociente da definição é
Esse quociente é exatamente
para todo
, portanto o limite quando
é
Portanto
. Como
era um ponto arbitrário, a derivada existe em todo ponto
e vale
.
Passo 4
Interpretação do resultado do Passo 3:
A existência da derivada em cada ponto
(e, na verdade, a existência numa vizinhança de cada ponto, pois a construção não depende de uma posição especial) implica que
é analítica em todo o plano complexo. Em palavras mais simples: uma função constante tem derivada zero em todo lugar e, por isso, é holomorfa (analítica) em
.
Passo 5
Abordagem 2 — equações de Cauchy–Riemann (verificação alternativa e ensino):
Escrevo
e separo
em parte real e imaginária:
Como
é real e constante, temos
para todos
.
Agora calculo as derivadas parciais (derivadas em relação a
e
):
Verifico as equações de Cauchy–Riemann:
As igualdades são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas (são constantes), então as hipóteses clássicas são satisfeitas e
é diferenciável (holomorfa) em todo ponto. Pela fórmula para a derivada,
Passo 6
Conclusão final (motivação e lembrete prático):
- Ambas as abordagens (definição via limite e Cauchy–Riemann) mostram claramente que uma função constante é analítica e tem derivada identificicamente zero.
- Na prática de prova/exame: a forma mais rápida é notar que
é constante e aplicar diretamente a definição do limite — isso já é suficiente para concluir que e que é inteira (analítica em todo ).