Problema 4 Verifique que f(z)=e^{2} é analítica e calcule sua derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(z)=e^{2}
para todo z (ou seja, é uma função constante). As tarefas são:
  • Verificar que f é analítica (holomorfa).
  • Calcular a derivada f'(z).
Informações relevantes dadas:
  • f(z) é a mesma constante e^{2} para qualquer z.

Passo 2

Primeiro, preciso lembrar o que significa “analítica” de forma prática:
  • Uma função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é analítica (ou holomorfa) num ponto z_{0} se ela for complexamente diferenciável em z_{0} e em um pequeno redor de z_{0}. Se isso vale para todo z\in\mathbb{C}, diz-se que f é inteira.
  • A definição direta de derivada complexa em z_{0} é
f'(z_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h},
onde h\in\mathbb{C} tende a 0.
  • Outra forma, útil quando f é dada por partes reais e imaginárias, é usar as equações de Cauchy–Riemann. Se f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) com z=x+iy e as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x,
então f é diferenciável ali e
f'(z)=u_x+i v_x.
Vou usar as duas abordagens (definição do limite e Cauchy–Riemann) porque são simples e reforçam a intuição.

Passo 3

Abordagem 1 — definição do limite (mais direta):
Se f(z)=e^{2} para todo z, então para qualquer z_{0} e qualquer h\neq 0 temos
f(z_{0}+h)-f(z_{0})=e^{2}-e^{2}=0.
Logo o quociente da definição é
\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=\frac{0}{h}=0.
Esse quociente é exatamente 0 para todo h\neq 0, portanto o limite quando h\to 0 é
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=0.
Portanto f'(z_{0})=0. Como z_{0} era um ponto arbitrário, a derivada existe em todo ponto z\in\mathbb{C} e vale 0.

Passo 4

Interpretação do resultado do Passo 3:
A existência da derivada em cada ponto z (e, na verdade, a existência numa vizinhança de cada ponto, pois a construção não depende de uma posição especial) implica que f é analítica em todo o plano complexo. Em palavras mais simples: uma função constante tem derivada zero em todo lugar e, por isso, é holomorfa (analítica) em \mathbb{C}.

Passo 5

Abordagem 2 — equações de Cauchy–Riemann (verificação alternativa e ensino):
Escrevo z=x+iy e separo f em parte real e imaginária:
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y).
Como f(z)=e^{2} é real e constante, temos
u(x,y)=e^{2},\qquad v(x,y)=0
para todos (x,y).
Agora calculo as derivadas parciais (derivadas em relação a x e y):
u_x(x,y)=0,\quad u_y(x,y)=0,\quad v_x(x,y)=0,\quad v_y(x,y)=0.
Verifico as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y \quad\text{é}\quad 0=0,é
u_y=-v_x \quad\text{é}\quad 0=-0.é
As igualdades são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas (são constantes), então as hipóteses clássicas são satisfeitas e f é diferenciável (holomorfa) em todo ponto. Pela fórmula para a derivada,
f'(z)=u_x+i v_x=0+i\cdot 0=0.

Passo 6

Conclusão final (motivação e lembrete prático):
  • Ambas as abordagens (definição via limite e Cauchy–Riemann) mostram claramente que uma função constante é analítica e tem derivada identificicamente zero.
  • Na prática de prova/exame: a forma mais rápida é notar que f é constante e aplicar diretamente a definição do limite — isso já é suficiente para concluir que f'(z)=0 e que f é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).

Resposta

f é analítica em todo \mathbb{C} (é inteira).
f'(z)=0 para todo z\in\mathbb{C}.

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