Exercício: O elevador hidráulico de uma oficina mecânica está cheio de óleo. Um carro se encontra sobre uma base apoiada a um pistão com 25 cm de diâmetro. Para levantar o carro, utiliza-se ar comprimido para pressionar um pistão de 6 cm de diâmetro.
a) Que força de pressão do ar sustentará um carro de 1300 kg com o pistão de ar comprimido?
b) Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em 2 m ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Massa do carro: m = 1300\\ \text{kg}.
  • Diâmetro do pistão que sustenta o carro (pistão grande): D_{\text{gr}} = 25\\ \text{cm}.
  • Diâmetro do pistão acionado pelo ar (pistão pequeno): D_{\text{pe}} = 6\\ \text{cm}.
  • Pedido (duas partes):
    (a) Qual a força de pressão do ar no pistão pequeno que sustentará o carro (isto é, que equilibra o peso do carro)?
    (b) Em quanto deve ser aumentada essa força de pressão do ar para levantar o carro em 2\\ \text{m}?
Dados adicionais que usarei:
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \text{m/s}^2.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Em um sistema hidráulico, a pressão é transmitida igualmente por todo o fluido (Princípio de Pascal). Isso significa que a pressão exercida pelo pistão pequeno é a mesma pressão que atua sob o pistão grande que sustenta o carro.
  • Pressão é definida por \displaystyle p=\frac{F}{A}, onde F é a força normal sobre uma área A.
  • Como a pressão é a mesma nos dois pistões, vale: \frac{F_{\text{pe}}}{A_{\text{pe}}}=\frac{F_{\text{gr}}}{A_{\text{gr}}},onde F_{\text{pe}} é a força fornecida pelo pistão pequeno (força do ar), A_{\text{pe}} é a área do pistão pequeno, F_{\text{gr}} é a força sobre o pistão grande (que precisa suportar o carro) e A_{\text{gr}} é a área do pistão grande.
  • Para sustentar o carro em equilíbrio (sem aceleração), F_{\text{gr}} deve igualar o peso do carro: F_{\text{gr}} = W = m g.
  • Assim, isolando F_{\text{pe}}: F_{\text{pe}} = W \cdot \frac{A_{\text{pe}}}{A_{\text{gr}}}.
  • Área de um pistão circular de diâmetro D: \displaystyle A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2.
  • Para a parte (b): levantar o carro em 2\\ \text{m} exige fazer trabalho igual à variação de energia potencial m g \Delta h. Em um sistema hidráulico sem perdas, esse trabalho é fornecido pelo pistão pequeno; para deslocamento, a conservação de volume dá A_{\text{pe}} d_{\text{pe}} = A_{\text{gr}} d_{\text{gr}}, onde d_{\text{gr}} é o deslocamento do pistão grande (aqui 2\\ \text{m}) e d_{\text{pe}} o deslocamento do pistão pequeno. Importante: para erguer com velocidade constante, não é preciso aumentar a força além da necessária para equilibrar o peso (desprezando atrito e inércia); o trabalho extra necessário aparece como deslocamento maior do pistão pequeno.

Passo 3

Calcular as áreas dos pistões (faça as contas passo a passo).
  • Converter diâmetros para metros: D_{\text{gr}} = 25\\ \text{cm} = 0,25\\ \text{m},\qquad D_{\text{pe}} = 6\\ \text{cm} = 0,06\\ \text{m}.
  • Raios: r_{\text{gr}}=\frac{D_{\text{gr}}}{2}=0,125\\ \text{m},\qquad r_{\text{pe}}=\frac{D_{\text{pe}}}{2}=0,03\\ \text{m}.
  • Áreas: A_{\text{gr}}=\pi r_{\text{gr}}^2=\pi(0,125)^2=\pi\cdot 0,015625=0,015625\pi\\ \text{m}^2,
A_{\text{pe}}=\pi r_{\text{pe}}^2=\pi(0,03)^2=\pi\cdot 0,0009=0,0009\pi\\ \text{m}^2.
  • Razão das áreas (útil para simplificar): \frac{A_{\text{pe}}}{A_{\text{gr}}}=\frac{0,0009\pi}{0,015625\pi}=\frac{0,0009}{0,015625}=0,0576.

Passo 4

Calcular o peso do carro e a força necessária no pistão pequeno (parte a).
  • Peso do carro: W = m g = 1300\cdot 9,81 = 12753\\ \text{N}.
  • Força no pistão pequeno para equilibrar esse peso: F_{\text{pe}} = W\cdot\frac{A_{\text{pe}}}{A_{\text{gr}}}=12753\cdot 0,0576 \approx 734,6\\ \text{N}.
  • Interpretação: com uma força aplicada pelo ar de aproximadamente 734,6\\ \text{N} no pistão pequeno, a pressão transmitida sustentará o carro de 1300\\ \text{kg} no pistão grande (desprezando perdas e atrito).

Passo 5

Entender a parte (b): aumentar a força para levantar 2\\ \text{m}.
  • Levantar o carro em 2\\ \text{m} requer trabalho igual a \Delta U = m g \Delta h = 12753\cdot 2 = 25506\\ \text{J}.
  • Se o sistema for ideal (sem atrito e sem aceleração), a mesma força calculada em (a) é suficiente para erguer o carro a velocidade constante; não é preciso aumentar a magnitude da força — precisa-se apenas aplicá-la durante um deslocamento do pistão pequeno maior que o deslocamento do pistão grande.
  • Calcular o deslocamento do pistão pequeno necessário para elevar o pistão grande d_{\text{gr}}=2\\ \text{m} usando conservação de volume: A_{\text{pe}} d_{\text{pe}} = A_{\text{gr}} d_{\text{gr}} \quad\Rightarrow\quad d_{\text{pe}} = \frac{A_{\text{gr}}}{A_{\text{pe}}} d_{\text{gr}}.A razão inversa já calculada é \frac{A_{\text{gr}}}{A_{\text{pe}}}=\frac{1}{0,0576}\approx 17,361111\ldotsportanto d_{\text{pe}} \approx 17,361111\cdot 2 \approx 34,722222\\ \text{m}.Ou seja, o pistão pequeno precisa descer cerca de 34,72\\ \text{m} para que o pistão grande suba 2\\ \text{m} (é grande porque a área do pistão pequeno é muito menor).
  • Verificação por trabalho: o trabalho fornecido pelo pistão pequeno é W_{\text{pe}} = F_{\text{pe}}\cdot d_{\text{pe}} \approx 734,6\cdot 34,7222 \approx 25506\\ \text{J},que coincide com \Delta U (conservação de energia em sistema ideal).
  • Portanto, a resposta direta para a pergunta formulada (“Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em 2\\ \text{m}?”) é: não é preciso aumentar a força (aumento =0\\ \text{N}), assumindo movimento a velocidade constante e desprezando atrito e inércia. O que muda é o deslocamento do pistão pequeno e o trabalho realizado.

Resposta

(a) F_{\text{ar}} \approx 734,6\\ \text{N}
(b) Aumento necessário da força: 0\\ \text{N} (ou seja, não é preciso aumentar a força para erguer 2\\ \text{m}, desprezando atrito e inércia). Trabalho necessário =25506\\ \text{J}; deslocamento do pistão pequeno \approx 34,72\\ \text{m}

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