Exercício: O elevador hidráulico de uma oficina mecânica está cheio de óleo. Um carro se encontra sobre uma base apoiada a um pistão com 25 cm de diâmetro. Para levantar o carro, utiliza-se ar comprimido para pressionar um pistão de 6 cm de diâmetro.
a) Que força de pressão do ar sustentará um carro de 1300 kg com o pistão de ar comprimido?
b) Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em 2 m ?
a) Que força de pressão do ar sustentará um carro de 1300 kg com o pistão de ar comprimido?
b) Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em 2 m ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Massa do carro:
. - Diâmetro do pistão que sustenta o carro (pistão grande):
. - Diâmetro do pistão acionado pelo ar (pistão pequeno):
. - Pedido (duas partes):
(a) Qual a força de pressão do ar no pistão pequeno que sustentará o carro (isto é, que equilibra o peso do carro)?
(b) Em quanto deve ser aumentada essa força de pressão do ar para levantar o carro em?
Dados adicionais que usarei:
- Aceleração da gravidade:
.
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Em um sistema hidráulico, a pressão é transmitida igualmente por todo o fluido (Princípio de Pascal). Isso significa que a pressão exercida pelo pistão pequeno é a mesma pressão que atua sob o pistão grande que sustenta o carro.
- Pressão é definida por
, onde é a força normal sobre uma área . - Como a pressão é a mesma nos dois pistões, vale:
onde é a força fornecida pelo pistão pequeno (força do ar), é a área do pistão pequeno, é a força sobre o pistão grande (que precisa suportar o carro) e é a área do pistão grande. - Para sustentar o carro em equilíbrio (sem aceleração),
deve igualar o peso do carro: - Assim, isolando
: - Área de um pistão circular de diâmetro
: . - Para a parte (b): levantar o carro em
exige fazer trabalho igual à variação de energia potencial . Em um sistema hidráulico sem perdas, esse trabalho é fornecido pelo pistão pequeno; para deslocamento, a conservação de volume dá , onde é o deslocamento do pistão grande (aqui ) e o deslocamento do pistão pequeno. Importante: para erguer com velocidade constante, não é preciso aumentar a força além da necessária para equilibrar o peso (desprezando atrito e inércia); o trabalho extra necessário aparece como deslocamento maior do pistão pequeno.
Passo 3
Calcular as áreas dos pistões (faça as contas passo a passo).
- Converter diâmetros para metros:
- Raios:
- Áreas:
- Razão das áreas (útil para simplificar):
Passo 4
Calcular o peso do carro e a força necessária no pistão pequeno (parte a).
- Peso do carro:
- Força no pistão pequeno para equilibrar esse peso:
- Interpretação: com uma força aplicada pelo ar de aproximadamente
no pistão pequeno, a pressão transmitida sustentará o carro de no pistão grande (desprezando perdas e atrito).
Passo 5
Entender a parte (b): aumentar a força para levantar
.
- Levantar o carro em
requer trabalho igual a - Se o sistema for ideal (sem atrito e sem aceleração), a mesma força calculada em (a) é suficiente para erguer o carro a velocidade constante; não é preciso aumentar a magnitude da força — precisa-se apenas aplicá-la durante um deslocamento do pistão pequeno maior que o deslocamento do pistão grande.
- Calcular o deslocamento do pistão pequeno necessário para elevar o pistão grande
usando conservação de volume: A razão inversa já calculada é portanto Ou seja, o pistão pequeno precisa descer cerca de para que o pistão grande suba (é grande porque a área do pistão pequeno é muito menor). - Verificação por trabalho: o trabalho fornecido pelo pistão pequeno é
que coincide com (conservação de energia em sistema ideal). - Portanto, a resposta direta para a pergunta formulada (“Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em
?”) é: não é preciso aumentar a força (aumento ), assumindo movimento a velocidade constante e desprezando atrito e inércia. O que muda é o deslocamento do pistão pequeno e o trabalho realizado.
Resposta
(a)
(b) Aumento necessário da força:
(ou seja, não é preciso aumentar a força para erguer
, desprezando atrito e inércia). Trabalho necessário
; deslocamento do pistão pequeno