12*) (Desafio2). Três turistas, que possuem uma única bicicleta, movem-se ao longo de uma avenida reta, desejando ir do hotel ao centro turístico no menor tempo possível (o tempo é contato até que o último turista chegue ao centro). A bicicleta consegue transportar apenas duas pessoas de cada vez, a uma velocidade de 20,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e, por isso, o terceiro turista precisa começar o deslocamento a pé. O ciclista leva o segundo turista até um determinado ponto do caminho, de onde este continua a andar a pé, a uma velocidade de 4,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, enquanto o ciclista regressa para transportar o terceiro. Se a distanciado hotelão centro turístico é de 8,0 \mathrm{~km}, determine:
a) em quanto tempo conseguirão chegar ao centro turístico?
b) o segundo turista deverá ser transportado de bicicleta até faltar quantos quilômetros para chegar ao centro turístico?

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que aparece entre parênteses veio do enunciado):
  • Distância total do hotel ao centro: \,D=8{,}0\\ \mathrm{km}.
  • Velocidade da bicicleta (quando carrega duas pessoas): \,v_b=20{,}0\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade de caminhada dos turistas: \,v_w=4{,}0\\ \mathrm{km/h}.
  • A bicicleta só leva duas pessoas; portanto no início duas pessoas vão de bicicleta e a terceira começa a andar a pé.
  • Procedimento descrito: o ciclista (com um segundo turista) vai até um ponto onde deixa esse segundo turista, que continua a pé; então o ciclista volta em direção ao terceiro e o transporta depois até o centro.
    O enunciado pede:
    (a) o tempo total até que o último turista chegue ao centro (ou seja, o menor tempo possível até que todos estejam no centro);
    (b) qual a distância restante para o centro quando o segundo turista for deixado (ou seja, quantos quilômetros faltam a partir do ponto de desembarque do segundo turista).

Passo 2

Definimos variáveis para descrever o esquema e facilitar os cálculos:
  • Seja \,x a distância medida a partir do hotel até o ponto onde o segundo turista é deixado pela bicicleta (ou seja, o ciclista transporta o segundo turista até a posição a x km do hotel).
  • Logo, a distância que resta para o centro a partir desse ponto é \,D-x.
    Vamos escrever expressões para os tempos que cada turista leva a chegar ao centro, em função de \,x. A estratégia será encontrar \,x que minimize o tempo até que o último chegue.

Passo 3

Calcular o tempo até o ciclista e o segundo turista chegarem ao ponto de desembarque:
  • Tempo para a bicicleta percorrer \,x km a \,v_b:
t_1=\frac{x}{v_b}.
Durante esse tempo o terceiro turista (que começou a andar a pé) avançou uma distância \,s_3 = v_w t_1 desde o hotel.

Passo 4

Calcular quando e onde o ciclista retorna e encontra o terceiro:
  • Depois de deixar o segundo em x, o ciclista volta em direção ao hotel (ou, mais precisamente, volta a encontrar o terceiro que caminha em direção ao centro). A velocidade relativa de aproximação entre o ciclista (indo para trás, velocidade \,v_b) e o terceiro (indo para frente, velocidade \,v_w) é \,v_b+v_w.
  • A distância entre eles no instante t_1 é \,x - v_w t_1.
  • Portanto o tempo desde t_1 até o encontro ( \,\Delta t) é
\Delta t=\frac{x - v_w t_1}{v_b+v_w}.
  • Substituindo t_1=\dfrac{x}{v_b} obtemos
\Delta t=\frac{x - v_w\frac{x}{v_b}}{v_b+v_w} =\frac{x\bigl(1-\dfrac{v_w}{v_b}\bigr)}{v_b+v_w} =\frac{x(v_b-v_w)}{v_b(v_b+v_w)}.
  • Então o instante do encontro (contando desde o início) é
t_{\text{encontro}}=t_1+\Delta t=\frac{x}{v_b}+\frac{x(v_b-v_w)}{v_b(v_b+v_w)}.
  • Essa expressão simplifica muito: juntando termos dá
t_{\text{encontro}}=\frac{2x}{v_b+v_w}.
(Esta simplificação pode ser verificada substituindo números; é uma identidade válida.)

Passo 5

Expressão do tempo de chegada do terceiro (aquele que começa andando):
  • O terceiro caminha até o encontro em tempo \,t_{\text{encontro}} e, a partir do encontro, vai de bicicleta até o centro. A distância do ponto de encontro até o centro é \,D - v_w t_{\text{encontro}} (porque o terceiro avançou \,v_w t_{\text{encontro}} desde o hotel).
  • Tempo total para o terceiro chegar ao centro:
T_3 = t_{\text{encontro}} + \frac{D - v_w t_{\text{encontro}}}{v_b}.
  • Podemos reorganizar esta expressão. Usando t_{\text{encontro}}=\dfrac{2x}{v_b+v_w} obtemos
T_3=\frac{D}{v_b} + t_{\text{encontro}}\Bigl(1-\frac{v_w}{v_b}\Bigr) =\frac{D}{v_b} + \frac{2x}{v_b+v_w}\cdot\frac{v_b-v_w}{v_b}.

Passo 6

Expressão do tempo de chegada do segundo (o que foi deixado em x e segue a pé):
  • O segundo chega ao ponto x no tempo t_1=\dfrac{x}{v_b} e depois caminha a pé os \,D-x km restantes a \,v_w. Assim
T_2 = \frac{x}{v_b} + \frac{D-x}{v_w}.
  • Podemos também escrever isto como
T_2 = \frac{D}{v_w} + x\Bigl(\frac{1}{v_b}-\frac{1}{v_w}\Bigr).

Passo 7

Raciocínio para minimizar o tempo final:
  • O tempo que nos interessa é o tempo até o último turista chegar, isto é \max(T_2,T_3).
  • Para minimizar o máximo de duas funções contínuas que dependem de um parâmetro \,x, uma estratégia intuitiva (e comum neste tipo de problema) é escolher \,x de modo que os dois tempos fiquem iguais; se um tempo for maior que o outro, é possível ajustar \,x para reduzir o maior sem aumentar muito o menor até que se encontrem. Assim procuramos \,x tal que
T_2=T_3.
(Esse procedimento é o caminho natural: balancear os tempos torna o “último a chegar” o mais cedo possível.)

Passo 8

Agora substituímos as fórmulas e resolvemos para \,x. Para simplificar, vamos usar os números do enunciado:
D=8{,}0,\qquad v_b=20{,}0,\qquad v_w=4{,}0
em unidades de \mathrm{km} e \mathrm{km/h}.
Primeiro calculemos expressões numéricas simples:
  • \displaystyle \frac{D}{v_b}=\frac{8}{20}=0{,}4\\ \text{h}.
  • \displaystyle \frac{D}{v_w}=\frac{8}{4}=2{,}0\\ \text{h}.
Usando as fórmulas obtidas:
T_3=\frac{D}{v_b}+\frac{2x}{v_b+v_w}\cdot\frac{v_b-v_w}{v_b}.
Substituindo números:
T_3=0{,}4+\frac{2x}{20+4}\cdot\frac{20-4}{20} =0{,}4+\frac{2x}{24}\cdot\frac{16}{20} =0{,}4+\frac{x}{12}\cdot\frac{4}{5} =0{,}4+\frac{x}{15}.
E
T_2=\frac{D}{v_w}+x\Bigl(\frac{1}{v_b}-\frac{1}{v_w}\Bigr) =2{,}0+x\Bigl(\frac{1}{20}-\frac{1}{4}\Bigr) =2{,}0+x\Bigl(\frac{1-5}{20}\Bigr) =2{,}0-\frac{x}{5}.
Agora igualamos T_2 e T_3:
2{,}0-\frac{x}{5}=0{,}4+\frac{x}{15}.
Multiplicando por 15 para limpar denominadores:
30-3x=6+x \quad\Rightarrow\quad 24=4x \quad\Rightarrow\quad x=6\\ \mathrm{km}.

Passo 9

Interpretação do resultado para (b):
  • O segundo turista foi transportado até x=6{,}0\\ \mathrm{km} do hotel.
  • Como a distância total é D=8{,}0\\ \mathrm{km}, a distância que faltava para o centro no ponto de desembarque é
D-x=8{,}0-6{,}0=2{,}0\\ \mathrm{km}.

Passo 10

Calcular o tempo mínimo correspondente (resposta de (a)):
  • Substituímos x=6 em qualquer uma das expressões de tempo (por exemplo T_3):
T_3=0{,}4+\frac{x}{15}=0{,}4+\frac{6}{15}=0{,}4+0{,}4=0{,}8\\ \text{h}.
  • Em horas e minutos: \,0{,}8\\ \text{h}=0{,}8\times 60\\ \text{min}=48\\ \text{min}.
  • Verificação: usando T_2,
T_2=2{,}0-\frac{x}{5}=2{,}0-\frac{6}{5}=2{,}0-1{,}2=0{,}8\\ \text{h},
confirma que ambos chegam ao mesmo tempo, este sendo o tempo ótimo.

Resposta

(a) 0{,}8\\ \text{h}=48\\ \text{min}.\n
(b) 2{,}0\\ \mathrm{km}.

Exercícios relacionados