12*) (Desafio2). Três turistas, que possuem uma única bicicleta, movem-se ao longo de uma avenida reta, desejando ir do hotel ao centro turístico no menor tempo possível (o tempo é contato até que o último turista chegue ao centro). A bicicleta consegue transportar apenas duas pessoas de cada vez, a uma velocidade de
e, por isso, o terceiro turista precisa começar o deslocamento a pé. O ciclista leva o segundo turista até um determinado ponto do caminho, de onde este continua a andar a pé, a uma velocidade de
, enquanto o ciclista regressa para transportar o terceiro. Se a distanciado hotelão centro turístico é de
, determine:
a) em quanto tempo conseguirão chegar ao centro turístico?
b) o segundo turista deverá ser transportado de bicicleta até faltar quantos quilômetros para chegar ao centro turístico?
a) em quanto tempo conseguirão chegar ao centro turístico?
b) o segundo turista deverá ser transportado de bicicleta até faltar quantos quilômetros para chegar ao centro turístico?
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que aparece entre parênteses veio do enunciado):
- Distância total do hotel ao centro:
. - Velocidade da bicicleta (quando carrega duas pessoas):
. - Velocidade de caminhada dos turistas:
. - A bicicleta só leva duas pessoas; portanto no início duas pessoas vão de bicicleta e a terceira começa a andar a pé.
- Procedimento descrito: o ciclista (com um segundo turista) vai até um ponto onde deixa esse segundo turista, que continua a pé; então o ciclista volta em direção ao terceiro e o transporta depois até o centro.
O enunciado pede:
(a) o tempo total até que o último turista chegue ao centro (ou seja, o menor tempo possível até que todos estejam no centro);
(b) qual a distância restante para o centro quando o segundo turista for deixado (ou seja, quantos quilômetros faltam a partir do ponto de desembarque do segundo turista).
Passo 2
Definimos variáveis para descrever o esquema e facilitar os cálculos:
- Seja
a distância medida a partir do hotel até o ponto onde o segundo turista é deixado pela bicicleta (ou seja, o ciclista transporta o segundo turista até a posição a km do hotel). - Logo, a distância que resta para o centro a partir desse ponto é
.
Vamos escrever expressões para os tempos que cada turista leva a chegar ao centro, em função de. A estratégia será encontrar que minimize o tempo até que o último chegue.
Passo 3
Calcular o tempo até o ciclista e o segundo turista chegarem ao ponto de desembarque:
- Tempo para a bicicleta percorrer
km a :
Durante esse tempo o terceiro turista (que começou a andar a pé) avançou uma distância
desde o hotel.
Passo 4
Calcular quando e onde o ciclista retorna e encontra o terceiro:
- Depois de deixar o segundo em
, o ciclista volta em direção ao hotel (ou, mais precisamente, volta a encontrar o terceiro que caminha em direção ao centro). A velocidade relativa de aproximação entre o ciclista (indo para trás, velocidade ) e o terceiro (indo para frente, velocidade ) é . - A distância entre eles no instante
é . - Portanto o tempo desde
até o encontro ( ) é
- Substituindo
obtemos
- Então o instante do encontro (contando desde o início) é
- Essa expressão simplifica muito: juntando termos dá
(Esta simplificação pode ser verificada substituindo números; é uma identidade válida.)
Passo 5
Expressão do tempo de chegada do terceiro (aquele que começa andando):
- O terceiro caminha até o encontro em tempo
e, a partir do encontro, vai de bicicleta até o centro. A distância do ponto de encontro até o centro é (porque o terceiro avançou desde o hotel). - Tempo total para o terceiro chegar ao centro:
- Podemos reorganizar esta expressão. Usando
obtemos
Passo 6
Expressão do tempo de chegada do segundo (o que foi deixado em
e segue a pé):
- O segundo chega ao ponto
no tempo e depois caminha a pé os km restantes a . Assim
- Podemos também escrever isto como
Passo 7
Raciocínio para minimizar o tempo final:
- O tempo que nos interessa é o tempo até o último turista chegar, isto é
. - Para minimizar o máximo de duas funções contínuas que dependem de um parâmetro
, uma estratégia intuitiva (e comum neste tipo de problema) é escolher de modo que os dois tempos fiquem iguais; se um tempo for maior que o outro, é possível ajustar para reduzir o maior sem aumentar muito o menor até que se encontrem. Assim procuramos tal que
(Esse procedimento é o caminho natural: balancear os tempos torna o “último a chegar” o mais cedo possível.)
Passo 8
Agora substituímos as fórmulas e resolvemos para
. Para simplificar, vamos usar os números do enunciado:
em unidades de
e
.
Primeiro calculemos expressões numéricas simples:
Usando as fórmulas obtidas:
Substituindo números:
E
Agora igualamos
e
:
Multiplicando por
para limpar denominadores:
Passo 9
Interpretação do resultado para (b):
- O segundo turista foi transportado até
do hotel. - Como a distância total é
, a distância que faltava para o centro no ponto de desembarque é
Passo 10
Calcular o tempo mínimo correspondente (resposta de (a)):
- Substituímos
em qualquer uma das expressões de tempo (por exemplo ):
- Em horas e minutos:
- Verificação: usando
,
confirma que ambos chegam ao mesmo tempo, este sendo o tempo ótimo.
Resposta
(a)
\n
(b) .
(b)