Nos problemas 3 e 4 verificar se as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
4-2 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=0, x>0, y_{1}(x)=x^{\frac{1}{2}}, y_{2}(x)=x^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções dadas são soluções da equação diferencial para x>0. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial: x^{2}y''+3x y' - y = 0.
  • Duas funções candidatas:
    • y_{1}(x)=x^{\frac{1}{2}}.
    • y_{2}(x)=x^{-1}.
      A tarefa é: para cada y_i, calcular y_i' e y_i'', substituir na equação e checar se a igualdade fica satisfeita para todo x>0.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
  • Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, calcula-se as derivadas necessárias e substitui-se na equação; se o lado esquerdo simplificar para zero para todo x no domínio, a função é solução.
  • Regra básica de derivação (regra do poder): para y(x)=x^{n} com n real e x>0, y'(x)=n x^{n-1},\qquad y''(x)=n(n-1)x^{n-2}.Vou aplicar essa regra para cada candidato. Lembre que x>0 garante que potências reais de x são bem definidas.

Passo 3

Verificação para y_{1}(x)=x^{\frac{1}{2}}.
  1. Calcular as derivadas usando a regra do poder:
y_{1}(x)=x^{\frac{1}{2}}, \qquad y_{1}'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}, \qquad y_{1}''(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)x^{-\frac{3}{2}}=-\tfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}.
  1. Substituir na equação x^{2}y''+3x y' - y e simplificar passo a passo:
x^{2}y_{1}'' = x^{2}\left(-\tfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\right) = -\tfrac{1}{4}x^{2-\frac{3}{2}} = -\tfrac{1}{4}x^{\frac{1}{2}},
3x y_{1}' = 3x\left(\tfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right) = \tfrac{3}{2}x^{1-\frac{1}{2}} = \tfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}},
- y_{1} = -x^{\frac{1}{2}}.
Agora somando:
x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'-y_{1} = \left(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2}-1\right)x^{\frac{1}{2}}.
Calcule o coeficiente numérico:
-\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2}-1 = -\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{1} = -\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{4} = \left(-1+6-4\right)/4=\tfrac{1}{4}.
Portanto
x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'-y_{1}=\tfrac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}.
Como \tfrac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}\neq 0 para x>0, concluímos que y_{1} NÃO satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Verificação para y_{2}(x)=x^{-1}.
  1. Calcular as derivadas:
y_{2}(x)=x^{-1}, \qquad y_{2}'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}, \qquad y_{2}''(x)=(-1)(-2)x^{-3}=2x^{-3}.
  1. Substituir na expressão x^{2}y''+3x y' - y e simplificar:
x^{2}y_{2}'' = x^{2}\cdot 2x^{-3} = 2x^{-1},
3x y_{2}' = 3x\cdot(-x^{-2}) = -3x^{-1},
- y_{2} = -x^{-1}.
Somando:
x^{2}y_{2}''+3x y_{2}'-y_{2} = (2-3-1)x^{-1} = -2x^{-1}.
Como -2x^{-1}\neq 0 para x>0, concluímos que y_{2} TAMBÉM NÃO satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Resumo intuitivo e motivação rápida: o procedimento foi o padrão — derivar com a regra do poder, substituir e verificar se o resultado some a zero. Aqui nenhum dos dois candidatos zerou a expressão; ambos deixam um resíduo proporcional a uma potência de x. Não desanime: verificar soluções desse tipo é mecânico e, com prática, fica bem rápido. Tamo junto — você já sabe exatamente o procedimento para a prova!

Resposta

y_{1}(x)=x^{\tfrac{1}{2}}: não é solução.
y_{2}(x)=x^{-1}: não é solução.

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