Nos problemas 3 e 4 verificar se as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
4-2 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=0, x>0, y_{1}(x)=x^{\frac{1}{2}}, y_{2}(x)=x^{-1}.
4-2 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=0, x>0, y_{1}(x)=x^{\frac{1}{2}}, y_{2}(x)=x^{-1}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções dadas são soluções da equação diferencial para
. As informações fornecidas são:
- Equação diferencial:
. - Duas funções candidatas:
-
. -
.
A tarefa é: para cada, calcular e , substituir na equação e checar se a igualdade fica satisfeita para todo .
-
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
- Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, calcula-se as derivadas necessárias e substitui-se na equação; se o lado esquerdo simplificar para zero para todo
no domínio, a função é solução. - Regra básica de derivação (regra do poder): para
com real e , Vou aplicar essa regra para cada candidato. Lembre que garante que potências reais de são bem definidas.
Passo 3
Verificação para
.
- Calcular as derivadas usando a regra do poder:
- Substituir na equação
e simplificar passo a passo:
Agora somando:
Calcule o coeficiente numérico:
Portanto
Como
para
, concluímos que
NÃO satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Verificação para
.
- Calcular as derivadas:
- Substituir na expressão
e simplificar:
Somando:
Como
para
, concluímos que
TAMBÉM NÃO satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Resumo intuitivo e motivação rápida: o procedimento foi o padrão — derivar com a regra do poder, substituir e verificar se o resultado some a zero. Aqui nenhum dos dois candidatos zerou a expressão; ambos deixam um resíduo proporcional a uma potência de
. Não desanime: verificar soluções desse tipo é mecânico e, com prática, fica bem rápido. Tamo junto — você já sabe exatamente o procedimento para a prova!