Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada
é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine
, a conjugada harmônica de
, e (c) Forme a correspondente função analítica
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) provar que
é harmônica em um domínio apropriado ; - (b) determinar
, uma conjugada harmônica de (isto é, encontrar tal que seja holomorfa localmente); - (c) formar a correspondente função analítica
.
Informações relevantes dadas: a função real é simplesmente
. Não há outras restrições no enunciado, então podemos trabalhar em qualquer domínio aberto
(ou
); para garantir existência global da conjugada harmônica é conveniente escolher
simplesmente conexo (por exemplo
ou
).
Passo 2
O que significa ser harmônica e como checar?
- Definição: uma função real
é harmônica num domínio se suas segundas derivadas parciais existem e a soma delas (o laplaciano) é zero, isto é, se vale
- Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro derivadas de primeira ordem:
Agora as segundas derivadas:
Portanto o laplaciano é
Conclusão:
é harmônica em qualquer domínio
onde essas derivadas existem (por exemplo em todo
). Isso responde (a).
Passo 3
Como encontrar a conjugada harmônica? Vou usar as equações de Cauchy–Riemann para funções
que são holomorfas: elas exigem
Aqui
. Já calculamos
e
. Substituindo nas equações de Cauchy–Riemann obtemos o sistema para
:
Passo 4
Resolver o sistema para
passo a passo (integração):
- Da equação
integrando em relação a obtemos
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
- Agora use
. Calculando a derivada de em relação a dá
A condição
implica
, logo
é constante:
com
.
- Portanto a conjugada harmônica geral é
onde
é uma constante real arbitrária. Observação importante: a conjugada harmônica é única a menos de uma constante aditiva real — por isso aparece esse
.
Passo 5
Formar a função analítica correspondente
. Tomando a conjugada encontrada,
Mas
, portanto
Escolhendo a constante
(a escolha comum para a conjugada que passa por zero) obtém-se
. Verificação rápida:
é claramente inteira (holomorfa em todo
), e a derivada é
, consistente com as equações de Cauchy–Riemann usadas.
Passo 6
Resumo didático e dica para prova: sempre que te derem uma função
simples, calcule
, verifique
para harmonicidade; para achar a conjugada use as equações de Cauchy–Riemann, integre uma equação (p.ex. a que envolve
ou
) e use a outra para determinar a função de integração (ou constante). Lembre-se que a conjugada é única só até uma constante real.
Resposta
(a)
é harmônica em qualquer domínio
(por exemplo
), pois
.\n
(b) , com
constante.\n
(c) (em particular, escolhendo
,
).
(b)
(c)