Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada \mathcal{U} é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine \mathcal{U}(x, y), a conjugada harmônica de \mathcal{U}, e (c) Forme a correspondente função analítica f(z)=U+i v
U(x, y)=x

Passo 1

O enunciado dá a função \mathcal{U}(x,y)=x e pede três coisas:
  • (a) provar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio apropriado D;
  • (b) determinar \mathcal{V}(x,y), uma conjugada harmônica de \mathcal{U} (isto é, encontrar v tal que U+i v seja holomorfa localmente);
  • (c) formar a correspondente função analítica f(z)=U+i v.
Informações relevantes dadas: a função real é simplesmente \mathcal{U}(x,y)=x. Não há outras restrições no enunciado, então podemos trabalhar em qualquer domínio aberto D\subset\mathbb{R}^2 (ou D\subset\mathbb{C}); para garantir existência global da conjugada harmônica é conveniente escolher D simplesmente conexo (por exemplo D=\mathbb{R}^2 ou D=\mathbb{C}).

Passo 2

O que significa ser harmônica e como checar?
  • Definição: uma função real U(x,y) é harmônica num domínio D se suas segundas derivadas parciais existem e a soma delas (o laplaciano) é zero, isto é, se vale
\Delta U = U_{xx}+U_{yy}=0.
  • Vamos calcular as derivadas parciais de U(x,y)=x. Primeiro derivadas de primeira ordem:
U_x=\frac{\partial}{\partial x}x=1,\qquad U_y=\frac{\partial}{\partial y}x=0.
Agora as segundas derivadas:
U_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}U_x=\frac{\partial}{\partial x}1=0,\qquad U_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}U_y=\frac{\partial}{\partial y}0=0.
Portanto o laplaciano é
\Delta U=U_{xx}+U_{yy}=0+0=0.
Conclusão: \mathcal{U}(x,y)=x é harmônica em qualquer domínio D onde essas derivadas existem (por exemplo em todo \mathbb{R}^2). Isso responde (a).

Passo 3

Como encontrar a conjugada harmônica? Vou usar as equações de Cauchy–Riemann para funções f=u+iv que são holomorfas: elas exigem
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Aqui u=\mathcal{U}=x. Já calculamos u_x=1 e u_y=0. Substituindo nas equações de Cauchy–Riemann obtemos o sistema para v:
v_y = 1,\qquad v_x = 0.

Passo 4

Resolver o sistema para v(x,y) passo a passo (integração):
  • Da equação v_y=1 integrando em relação a y obtemos
v(x,y)=\int 1\,dy = y+\varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).
  • Agora use v_x=0. Calculando a derivada de v(x,y)=y+\varphi(x) em relação a x
v_x=\varphi'(x).
A condição v_x=0 implica \varphi'(x)=0, logo \varphi(x) é constante: \varphi(x)=C com C\in\mathbb{R}.
  • Portanto a conjugada harmônica geral é
\mathcal{V}(x,y)=y+C,
onde C é uma constante real arbitrária. Observação importante: a conjugada harmônica é única a menos de uma constante aditiva real — por isso aparece esse C.

Passo 5

Formar a função analítica correspondente f(z)=U+i v. Tomando a conjugada encontrada,
f(z)=U(x,y)+i\,\mathcal{V}(x,y)=x + i(y+C)=x+iy + iC.
Mas x+iy=z, portanto
f(z)=z + iC.
Escolhendo a constante C=0 (a escolha comum para a conjugada que passa por zero) obtém-se f(z)=z. Verificação rápida: f(z)=z+iC é claramente inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), e a derivada é f'(z)=1, consistente com as equações de Cauchy–Riemann usadas.

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: sempre que te derem uma função u(x,y) simples, calcule u_x,u_y, verifique \Delta u=0 para harmonicidade; para achar a conjugada use as equações de Cauchy–Riemann, integre uma equação (p.ex. a que envolve v_y ou v_x) e use a outra para determinar a função de integração (ou constante). Lembre-se que a conjugada é única só até uma constante real.

Resposta

(a) \mathcal{U}(x,y)=x é harmônica em qualquer domínio D\subset\mathbb{R}^2 (por exemplo D=\mathbb{R}^2), pois \Delta \mathcal{U}=0.\n
(b) \mathcal{V}(x,y)=y+C, com C\in\mathbb{R} constante.\n
(c) f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}=z+iC (em particular, escolhendo C=0, f(z)=z).

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