Nos problemas de 1 a 8, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Para cada um dos itens a seguir, resolva:
Para cada um dos itens a seguir, resolva:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial linear com coeficientes constantes e solicita expressar a solução em termos de convolução e resolver o problema. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Pedido: expressar a solução em função de uma convolução e obter a solução
.
Passo 2
Observação estratégica (o que vamos fazer, sem detalhes técnicos ainda): pela linearidade da equação podemos decompor a solução em duas partes:
- solução da equação homogênea que satisfaz as condições iniciais (ou seja, a resposta livre a partir de
); - resposta forçada gerada pela entrada
quando as condições iniciais da parte forçada são nulas — essa segunda parte é dada por uma convolução entre a entrada e a resposta ao impulso (a chamada função de Green ou resposta ao impulso) do operador diferencial.
Agora vamos executar isso passo a passo.
Passo 3
Resolver a homogênea e aplicar as condições iniciais para obter a parte da solução que decorre só das condições iniciais.
A equação homogênea associada é
A equação característica é [,r^2+3r+2=0,), que fatoriza como
. Logo as raízes são
e
.
A solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais do problema completo. Para separar a contribuição das condições iniciais da contribuição da entrada forçada, vamos encontrar a solução da homogênea que satisfaz as condições iniciais originais (essa será a “resposta livre”):
Resolve-se o sistema
somando as duas equações ou resolvendo diretamente obtemos
. Portanto a parte determinada pelas condições iniciais é
Passo 4
Encontrar a resposta ao impulso
do operador diferencial e escrever a parte forçada como convolução.
Definição e ideia: a resposta ao impulso
é a solução causal (zero para
) da equação
com condições iniciais nulas (geralmente
,
). A utilidade é que, por linearidade e causalidade, a solução particular para entrada
com condições nulas no passado é a convolução
Para achar
é prático usar a transformada de Laplace. Aplicando
(com condições iniciais nulas) temos
Fazendo frações parciais:
Aplicando a transformada inversa obtemos, para
,
Portanto a parte forçada é
Isto é a expressão explícita da solução em termos de convolução — missão principal concluída. Agora vamos calcular essa integral para obter uma forma fechada.
Passo 5
Calcular a convolução explicitamente. Vamos avaliar
Fatorando os expoentes externos:
Para a integral geral, para um parâmetro
, usamos a fórmula (pode ser obtida por integração por partes duas vezes ou lembrando transformadas):
Aplicando com
e
:
Para
,
Para
,
Substituindo em
:
Simplificando cada termo (cancelando os
e
quando possível):
Passo 6
Reunir a solução completa somando a parte das condições iniciais com a parte forçada por convolução:
Se desejar uma única fração (forma fechada combinada), podemos colocar tudo sobre o denominador
. Fazendo a álgebra (passos de soma de frações) obtém-se a forma:
(A demonstração algébrica da combinação dos termos é apenas manipulação de frações; a expressão acima é equivalente à soma
.)
Resposta
ou, em forma explícita fechada,