Nos problemas de 1 a 8, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Para cada um dos itens a seguir, resolva:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\cos \alpha t ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial linear com coeficientes constantes e solicita expressar a solução em termos de convolução e resolver o problema. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: y''+3y'+2y=\cos\alpha t.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
  • Pedido: expressar a solução em função de uma convolução e obter a solução y(t).

Passo 2

Observação estratégica (o que vamos fazer, sem detalhes técnicos ainda): pela linearidade da equação podemos decompor a solução em duas partes:
  1. solução da equação homogênea que satisfaz as condições iniciais (ou seja, a resposta livre a partir de t=0);
  2. resposta forçada gerada pela entrada f(t)=\cos\alpha t quando as condições iniciais da parte forçada são nulas — essa segunda parte é dada por uma convolução entre a entrada f e a resposta ao impulso (a chamada função de Green ou resposta ao impulso) do operador diferencial.
    Agora vamos executar isso passo a passo.

Passo 3

Resolver a homogênea e aplicar as condições iniciais para obter a parte da solução que decorre só das condições iniciais.
A equação homogênea associada é
y''+3y'+2y=0.
A equação característica é [,r^2+3r+2=0,), que fatoriza como (r+1)(r+2)=0. Logo as raízes são r=-1 e r=-2.
A solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais do problema completo. Para separar a contribuição das condições iniciais da contribuição da entrada forçada, vamos encontrar a solução da homogênea que satisfaz as condições iniciais originais (essa será a “resposta livre”):
y_h(0)=C_1+C_2=1,
y_h'(t)=-C_1 e^{-t}-2C_2 e^{-2t}\quad\Rightarrow\quad y_h'(0)=-C_1-2C_2=0.
Resolve-se o sistema
\begin{cases} C_1+C_2=1,\\[4pt] - C_1-2C_2=0, \end{cases}
somando as duas equações ou resolvendo diretamente obtemos C_2=-1\] e \(C_1=2. Portanto a parte determinada pelas condições iniciais é
y_{IC}(t)=2e^{-t}-e^{-2t}.]

Passo 4

Encontrar a resposta ao impulso h(t) do operador diferencial e escrever a parte forçada como convolução.
Definição e ideia: a resposta ao impulso h(t) é a solução causal (zero para t<0) da equação
h''+3h'+2h=\delta(t),
com condições iniciais nulas (geralmente h(0^-)=0, h'(0^-)=0). A utilidade é que, por linearidade e causalidade, a solução particular para entrada f(t) com condições nulas no passado é a convolução
y_p(t)=(h*f)(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.
Para achar h(t) é prático usar a transformada de Laplace. Aplicando \mathcal{L} (com condições iniciais nulas) temos
\mathcal{L}\{h\}(s)=H(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}.
Fazendo frações parciais:
\frac{1}{s^2+3s+2}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Aplicando a transformada inversa obtemos, para t\ge0,
h(t)=e^{-t}-e^{-2t}.
Portanto a parte forçada é
y_p(t)=(h*f)(t)=\int_{0}^{t}\bigl(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\bigr)\cos(\alpha\tau)\,d\tau.
Isto é a expressão explícita da solução em termos de convolução — missão principal concluída. Agora vamos calcular essa integral para obter uma forma fechada.

Passo 5

Calcular a convolução explicitamente. Vamos avaliar
y_p(t)=\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\cos(\alpha\tau)\,d\tau \;-\; \int_{0}^{t} e^{-2(t-\tau)}\cos(\alpha\tau)\,d\tau.
Fatorando os expoentes externos:
y_p(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\cos(\alpha\tau)\,d\tau \;-\; e^{-2t}\int_{0}^{t} e^{2\tau}\cos(\alpha\tau)\,d\tau.
Para a integral geral, para um parâmetro a, usamos a fórmula (pode ser obtida por integração por partes duas vezes ou lembrando transformadas):
\int_{0}^{t} e^{a\tau}\cos(\alpha\tau)\,d\tau = \frac{e^{a t}\bigl(a\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)\bigr)-a}{a^{2}+\alpha^{2}}.
Aplicando com a=1 e a=2:
Para a=1,
\int_{0}^{t} e^{\tau}\cos(\alpha\tau)\,d\tau = \frac{e^{t}\bigl(\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)\bigr)-1}{1+\alpha^{2}}.
Para a=2,
\int_{0}^{t} e^{2\tau}\cos(\alpha\tau)\,d\tau = \frac{e^{2t}\bigl(2\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)\bigr)-2}{4+\alpha^{2}}.
Substituindo em y_p:
y_p(t) = e^{-t}\cdot\frac{e^{t}\bigl(\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)\bigr)-1}{1+\alpha^{2}} - e^{-2t}\cdot\frac{e^{2t}\bigl(2\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)\bigr)-2}{4+\alpha^{2}}.
Simplificando cada termo (cancelando os e^{t} e e^{2t} quando possível):
y_p(t)=\frac{\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)-e^{-t}}{1+\alpha^{2}} -\frac{2\cos(\alpha t)+\alpha\sin(\alpha t)-2e^{-2t}}{4+\alpha^{2}}.

Passo 6

Reunir a solução completa somando a parte das condições iniciais com a parte forçada por convolução:
y(t)=y_{IC}(t)+y_p(t)=2e^{-t}-e^{-2t}+y_p(t).
Se desejar uma única fração (forma fechada combinada), podemos colocar tudo sobre o denominador (1+\alpha^{2})(4+\alpha^{2}). Fazendo a álgebra (passos de soma de frações) obtém-se a forma:
y(t)=\frac{(2-\alpha^{2})\cos(\alpha t)+3\alpha\sin(\alpha t)+\bigl(4+9\alpha^{2}+2\alpha^{4}\bigr)e^{-t}-\bigl(2+3\alpha^{2}+\alpha^{4}\bigr)e^{-2t}}{4+5\alpha^{2}+\alpha^{4}}.
(A demonstração algébrica da combinação dos termos é apenas manipulação de frações; a expressão acima é equivalente à soma 2e^{-t}-e^{-2t}+y_p(t).)

Resposta

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}+\int_{0}^{t}\bigl(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\bigr)\cos(\alpha\tau)\,d\tau
ou, em forma explícita fechada,
y(t)=\frac{(2-\alpha^{2})\cos(\alpha t)+3\alpha\sin(\alpha t)+\bigl(4+9\alpha^{2}+2\alpha^{4}\bigr)e^{-t}-\bigl(2+3\alpha^{2}+\alpha^{4}\bigr)e^{-2t}}{4+5\alpha^{2}+\alpha^{4}}.

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