Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada \mathcal{U} é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine \mathcal{U}(x, y), a conjugada harmônica de \mathcal{U}, e (c) Forme a correspondente função analítica f(z)=U+i v
U(x, y)=x^{3}-3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
U(x,y)=x^{3}-3xy^{2}
e pede três coisas:
(a) comprovar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio apropriado D;
(b) determinar \mathcal{V}(x,y), a conjugada harmônica de \mathcal{U} (isto é, uma função \mathcal{V} tal que \mathcal{U}+i\mathcal{V} seja analítica);
(c) formar a correspondente função analítica f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}.
Informações relevantes dadas: \mathcal{U} é um polinômio em x,y, portanto está definida e é C^\infty em todo \mathbb{R}^2. O domínio apropriado natural para começar é D=\mathbb{R}^2 (ou qualquer aberto simplesmente conexo de \mathbb{R}^2).

Passo 2

O que significa ser harmônica (passo-a-passo): uma função \mathcal{U}(x,y) é harmônica num domínio quando tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace
\Delta \mathcal{U}=\mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}=0.
Vamos calcular as derivadas parciais de \mathcal{U} explicitamente (sem pular etapas).
Primeiro derivada em relação a x:
\mathcal{U}_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=3x^{2}-3y^{2}.
Agora a segunda derivada em x:
\mathcal{U}_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr)=6x.
Primeiro derivada em relação a y:
\mathcal{U}_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=-6xy.
Agora a segunda derivada em y:
\mathcal{U}_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6xy\bigr)=-6x.

Passo 3

Somando as segundas derivadas para formar a laplaciana:
\mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}=6x+(-6x)=0.
Portanto \Delta\mathcal{U}=0 em todo \mathbb{R}^2. Conclusão: \mathcal{U} é harmônica em qualquer domínio D\subseteq\mathbb{R}^2; em particular pode-se escolher D=\mathbb{R}^2 ou qualquer aberto simplesmente conexo.

Passo 4

Agora vamos achar uma conjugada harmônica \mathcal{V}(x,y). Lembrete prático (explicado): se f=u+iv é função analítica então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Aqui u é \mathcal{U}. Já calculamos u_x e u_y:
u_x=3x^{2}-3y^{2},\qquad u_y=-6xy.
Usamos a primeira equação de Cauchy–Riemann para obter v: v_y=u_x. Integramos essa igualdade em relação a y:
v_y=3x^{2}-3y^{2}\quad\Longrightarrow\quad v(x,y)=\int (3x^{2}-3y^{2})\,dy = 3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).

Passo 5

Agora usamos a segunda equação de Cauchy–Riemann u_y=-v_x para determinar \varphi(x). Calcule v_x a partir da expressão obtida:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y - y^{3} + \varphi(x)\bigr)=6xy+\varphi'(x).
A equação pede -v_x = u_y. Como u_y=-6xy, temos
-v_x = -\bigl(6xy+\varphi'(x)\bigr) = u_y = -6xy.
Simplificando,
-6xy - \varphi'(x) = -6xy \quad\Longrightarrow\quad \varphi'(x)=0.
Logo \varphi(x) é constante: \varphi(x)=C com C\in\mathbb{R}.
Portanto a conjugada harmônica (determinada a menos de uma constante aditiva) é
\mathcal{V}(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C.
É comum escolher C=0 para fixar uma conjugada particular, mas qualquer C real serve.

Passo 6

Formando a função analítica correspondente:
f(z)=\mathcal{U}(x,y)+i\mathcal{V}(x,y) = x^{3}-3xy^{2} + i\bigl(3x^{2}y - y^{3} + C\bigr).
Uma forma limpa e elegante é reconhecer a identidade do cubo complexo: para z=x+iy,
z^{3}=(x+iy)^{3}=x^{3}-3xy^{2} + i\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr).
Portanto, a família de funções analíticas que têm \mathcal{U} como parte real é
f(z)=z^{3}+iC,
onde C\in\mathbb{R}. (O termo iC corresponde exatamente à constante imaginária adicionada à conjugada harmônica.)

Resposta

(a) \mathcal{U} é harmônica em todo \mathbb{R}^2 (logo em qualquer domínio aberto D\subseteq\mathbb{R}^2).
(b) \mathcal{V}(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C, com C\in\mathbb{R}.
(c) f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}=z^{3}+iC (com C\in\mathbb{R}).

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