Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada
é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine
, a conjugada harmônica de
, e (c) Forme a correspondente função analítica
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) comprovar que é harmônica em um domínio apropriado
;
(b) determinar , a conjugada harmônica de
(isto é, uma função
tal que
seja analítica);
(c) formar a correspondente função analítica .
(a) comprovar que
(b) determinar
(c) formar a correspondente função analítica
Informações relevantes dadas:
é um polinômio em
, portanto está definida e é
em todo
. O domínio apropriado natural para começar é
(ou qualquer aberto simplesmente conexo de
).
Passo 2
O que significa ser harmônica (passo-a-passo): uma função
é harmônica num domínio quando tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace
Vamos calcular as derivadas parciais de
explicitamente (sem pular etapas).
Primeiro derivada em relação a
:
Agora a segunda derivada em
:
Primeiro derivada em relação a
:
Agora a segunda derivada em
:
Passo 3
Somando as segundas derivadas para formar a laplaciana:
Portanto
em todo
. Conclusão:
é harmônica em qualquer domínio
; em particular pode-se escolher
ou qualquer aberto simplesmente conexo.
Passo 4
Agora vamos achar uma conjugada harmônica
. Lembrete prático (explicado): se
é função analítica então
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
Aqui
é
. Já calculamos
e
:
Usamos a primeira equação de Cauchy–Riemann para obter
:
. Integramos essa igualdade em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Agora usamos a segunda equação de Cauchy–Riemann
para determinar
. Calcule
a partir da expressão obtida:
A equação pede
. Como
, temos
Simplificando,
Logo
é constante:
com
.
Portanto a conjugada harmônica (determinada a menos de uma constante aditiva) é
É comum escolher
para fixar uma conjugada particular, mas qualquer
real serve.
Passo 6
Formando a função analítica correspondente:
Uma forma limpa e elegante é reconhecer a identidade do cubo complexo: para
,
Portanto, a família de funções analíticas que têm
como parte real é
onde
. (O termo
corresponde exatamente à constante imaginária adicionada à conjugada harmônica.)
Resposta
(a)
é harmônica em todo
(logo em qualquer domínio aberto
).
(b) , com
.
(c) (com
).
(b)
(c)