Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada
é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine
, a conjugada harmônica de
, e (c) Forme a correspondente função analítica
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) provar que
é harmônica em um domínio apropriado ; - (b) determinar uma conjugada harmônica de
, isto é, encontrar tal que e sejam conjugadas harmônicas (ou seja, que existam como partes real e imaginária de uma função holomorfa localmente); - (c) formar a função analítica
.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
para todos
. Nada mais é necessário para começar.
Passo 2
O que significa ser harmônica? Uma função
é harmônica num domínio
se for duas vezes continuamente diferenciável em
e satisfazer a equação de Laplace:
Aqui
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
é a segunda derivada parcial em relação a
.
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro as primeiras derivadas:
Agora as segundas derivadas:
Somando:
Portanto a equação de Laplace é satisfeita em todo ponto de
. Como
é C^\infty em
, concluímos que
é harmônica em
(um domínio apropriado e simplesmente conexo).
Comentário amigo: isso significa que
não tem “fonte” nem “sumiço” local de valor — por isso costuma aparecer como parte real de funções holomorfas.
Passo 3
Como encontrar a conjugada harmônica
? Em domínios simplesmente conexos (como
) toda função harmônica possui uma conjugada harmônica localmente e globalmente. A forma prática é usar as equações de Cauchy–Riemann: se
é holomorfa, então
Já calculamos
e
no Passo 2:
Assim devemos resolver o sistema de PDEs para
:
Podemos integrar uma das equações e usar a outra para ajustar a função de integração.
Passo 4
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
que surge como “constante” de integração.
Agora impomos a outra equação de Cauchy–Riemann
. Calculamos
a partir da expressão obtida:
Comparando com a exigência
, obtemos
Logo
é constante:
(constante real). Assim uma conjugada harmônica é
Podemos escolher a constante
arbitrariamente (ela corresponde a somar uma constante imaginária à função analítica). Para obter a conjugada “padrão” podemos tomar
, então
Dica prática para a prova: quase sempre se integra uma das equações das CR e ajusta com a outra para determinar a função de integração — é um caminho rápido e seguro.
Passo 5
Formar a função analítica
. Usando
e escolhendo
para simplicidade, temos
Agora simplificamos usando a identidade exponencial. Note que
Portanto
Se manteivermos a constante
do passo anterior, a função geral analítica correspondente é
pois somar
a
equivale a somar
à função analítica.
Observação final e motivadora:
é inteira (holomorfa em todo
), sua parte real é exatamente
e sua parte imaginária é
. Legal, né? É sempre bom reconhecer padrões exponenciais — eles tornam os cálculos muito limpos.
Resposta
(a)
é harmônica em
.\n
(b) Uma conjugada harmônica é (tomando
dá
).\n
(c) A função analítica correspondente é (para
,
).
(b) Uma conjugada harmônica é
(c) A função analítica correspondente é