Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada \mathcal{U} é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine \mathcal{U}(x, y), a conjugada harmônica de \mathcal{U}, e (c) Forme a correspondente função analítica f(z)=U+i v
U(x, y)=-e^{-x} \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathcal{U}(x,y) = -e^{-x}\sin y
e pede três coisas:
  • (a) provar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio apropriado D;
  • (b) determinar uma conjugada harmônica de \mathcal{U}, isto é, encontrar v(x,y) tal que u=\mathcal{U} e v sejam conjugadas harmônicas (ou seja, que existam como partes real e imaginária de uma função holomorfa localmente);
  • (c) formar a função analítica f(z)=u+iv.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de u(x,y) para todos (x,y)\in\mathbb{R}^2. Nada mais é necessário para começar.

Passo 2

O que significa ser harmônica? Uma função u(x,y) é harmônica num domínio D se for duas vezes continuamente diferenciável em D e satisfazer a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=0.
Aqui u_{xx} é a segunda derivada parcial de u em relação a x e u_{yy} é a segunda derivada parcial em relação a y.
Vamos calcular as derivadas parciais de u(x,y)=-e^{-x}\sin y. Primeiro as primeiras derivadas:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-x}\sin y\big) = -\big(-e^{-x}\big)\sin y = e^{-x}\sin y,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-x}\sin y\big) = -e^{-x}\cos y.
Agora as segundas derivadas:
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-x}\sin y\big) = -e^{-x}\sin y,
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-x}\cos y\big) = -e^{-x}(-\sin y)=e^{-x}\sin y.
Somando:
u_{xx}+u_{yy}=(-e^{-x}\sin y)+(e^{-x}\sin y)=0.
Portanto a equação de Laplace é satisfeita em todo ponto de \mathbb{R}^2. Como u é C^\infty em \mathbb{R}^2, concluímos que \mathcal{U} é harmônica em D=\mathbb{R}^2 (um domínio apropriado e simplesmente conexo).
Comentário amigo: isso significa que u não tem “fonte” nem “sumiço” local de valor — por isso costuma aparecer como parte real de funções holomorfas.

Passo 3

Como encontrar a conjugada harmônica v? Em domínios simplesmente conexos (como \mathbb{R}^2) toda função harmônica possui uma conjugada harmônica localmente e globalmente. A forma prática é usar as equações de Cauchy–Riemann: se f=u+iv é holomorfa, então
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Já calculamos u_x e u_y no Passo 2:
u_x = e^{-x}\sin y,\qquad u_y = -e^{-x}\cos y.
Assim devemos resolver o sistema de PDEs para v:
v_y = e^{-x}\sin y,\qquad v_x = -u_y = e^{-x}\cos y.
Podemos integrar uma das equações e usar a outra para ajustar a função de integração.

Passo 4

Integramos v_y = e^{-x}\sin y em relação a y, tratando x como constante:
v(x,y) = \int e^{-x}\sin y\,dy = -e^{-x}\cos y + h(x),
onde h(x) é uma função de x que surge como “constante” de integração.
Agora impomos a outra equação de Cauchy–Riemann v_x = e^{-x}\cos y. Calculamos v_x a partir da expressão obtida:
v_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-x}\cos y + h(x)\big) = e^{-x}\cos y + h'(x).
Comparando com a exigência v_x(x,y)=e^{-x}\cos y, obtemos
e^{-x}\cos y + h'(x) = e^{-x}\cos y \quad\Longrightarrow\quad h'(x)=0.
Logo h(x) é constante: h(x)=C (constante real). Assim uma conjugada harmônica é
v(x,y) = -e^{-x}\cos y + C.
Podemos escolher a constante C arbitrariamente (ela corresponde a somar uma constante imaginária à função analítica). Para obter a conjugada “padrão” podemos tomar C=0, então
v(x,y)=-e^{-x}\cos y.
Dica prática para a prova: quase sempre se integra uma das equações das CR e ajusta com a outra para determinar a função de integração — é um caminho rápido e seguro.

Passo 5

Formar a função analítica f(z)=u+iv. Usando u=-e^{-x}\sin y e escolhendo C=0 para simplicidade, temos
f(z)=u+iv = -e^{-x}\sin y + i\big(-e^{-x}\cos y\big) = -e^{-x}\big(\sin y + i\cos y\big).
Agora simplificamos usando a identidade exponencial. Note que
\sin y + i\cos y = i\big(\cos y - i\sin y\big) = i e^{-iy}.
Portanto
f(z) = -e^{-x}\,i e^{-iy} = -i e^{-x-iy} = -i e^{-z}.
Se manteivermos a constante C do passo anterior, a função geral analítica correspondente é
f(z) = -i e^{-z} + iC,
pois somar C a v equivale a somar iC à função analítica.
Observação final e motivadora: f(z)=-i e^{-z} é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), sua parte real é exatamente -e^{-x}\sin y e sua parte imaginária é -e^{-x}\cos y. Legal, né? É sempre bom reconhecer padrões exponenciais — eles tornam os cálculos muito limpos.

Resposta

(a) \mathcal{U} é harmônica em D=\mathbb{R}^2.\n
(b) Uma conjugada harmônica é v(x,y)=-e^{-x}\cos y + C (tomando C=0 v=-e^{-x}\cos y).\n
(c) A função analítica correspondente é f(z)=-i e^{-z} + iC (para C=0, f(z)=-i e^{-z}).

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