Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada \mathcal{U} é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine \mathcal{U}(x, y), a conjugada harmônica de \mathcal{U}, e (c) Forme a correspondente função analítica f(z)=U+i v
U(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathcal{U}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
e pede três coisas:
  • (a) provar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio apropriado D;
  • (b) determinar \mathcal{V}(x,y), a conjugada harmônica de \mathcal{U} (isto é, uma função \mathcal{V} tal que \mathcal{U}+i\mathcal{V} seja holomorfa);
  • (c) formar a função analítica correspondente f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}.
Observação imediata sobre domínio: a expressão tem denominador x^{2}+y^{2}, logo faz sentido apenas quando x^{2}+y^{2}\neq0. Portanto o domínio natural a considerar é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq0\}.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas e ideias que vou usar).
  • Uma função u(x,y) é harmônica num domínio se satisfaz a equação de Laplace:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0.
  • Para derivar funções definidas por quociente, uso regra do produto e regra da cadeia de forma explícita. Aqui é conveniente escrever
R(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad \mathcal{U}(x,y)=x\,R^{-1}.
Vou calcular u_x e u_y passo a passo.
Calculemos \mathcal{U}_x. Usando produto e cadeia:
\mathcal{U}(x,y)=x\cdot R^{-1}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{U}_x = 1\cdot R^{-1} + x\cdot(-1)R^{-2}\cdot(2x).
Agora simplifico:
\mathcal{U}_x=R^{-1}-2x^{2}R^{-2}=\frac{R-2x^{2}}{R^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{R^{2}}.

Passo 3

Calculemos \mathcal{U}_y. Diferenciando \mathcal{U}=xR^{-1} em relação a y (note que x é constante nesse derivar):
\mathcal{U}_y = x\cdot(-1)R^{-2}\cdot(2y) = -\frac{2xy}{R^{2}}.
Agora vamos precisar das segundas derivadas. Primeiro \mathcal{U}_{xx}. Parto de
\mathcal{U}_x=\frac{y^{2}-x^{2}}{R^{2}}.
Derivando em x:
\mathcal{U}_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left( (y^{2}-x^{2})R^{-2}\right).
Aplicando produto e cadeia:
\mathcal{U}_{xx} = (-2x)R^{-2} + (y^{2}-x^{2})\cdot(-2)R^{-3}\cdot(2x).
Coloco sobre o mesmo denominador R^{3} e simplifico o numerador:
\mathcal{U}_{xx}=\frac{-2xR -4x(y^{2}-x^{2})}{R^{3}} =\frac{2x^{3}-6xy^{2}}{R^{3}}=\frac{2x(x^{2}-3y^{2})}{R^{3}}.

Passo 4

Agora \mathcal{U}_{yy}. Parto de \mathcal{U}_y=-2xyR^{-2}. Derivando em y:
\mathcal{U}_{yy} = -2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(yR^{-2}\right) = -2x\left(R^{-2} + y\cdot(-2)R^{-3}\cdot(2y)\right).
Simplificando:
\mathcal{U}_{yy} = -2xR^{-2} +8xy^{2}R^{-3} = \frac{-2xR +8xy^{2}}{R^{3}} = \frac{-2x^{3}+6xy^{2}}{R^{3}}.
Somando \mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}:
\mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}=\frac{2x^{3}-6xy^{2}}{R^{3}}+\frac{-2x^{3}+6xy^{2}}{R^{3}}=0.
Portanto \Delta\mathcal{U}=0 em qualquer ponto onde R\neq0. Conclusão para (a): \mathcal{U} é harmônica em D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\neq0\}.

Passo 5

Agora (b): encontrar a conjugada harmônica \mathcal{V}. Vou usar as equações de Cauchy–Riemann: se f=\mathcal{U}+i\mathcal{V} é holomorfa então
\mathcal{U}_x=\mathcal{V}_y,\qquad \mathcal{U}_y=-\mathcal{V}_x.
Já calculei \mathcal{U}_x=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{R^{2}} e \mathcal{U}_y=-\dfrac{2xy}{R^{2}}.
Integro a primeira igualdade \mathcal{V}_y=\mathcal{U}_x em relação a y:
\mathcal{V}(x,y)=\int \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dy + \varphi(x).
Para não fazer uma integral longa, observo que a função candidata
\mathcal{V}(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
tem derivada em y
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{R}\right) = -R^{-1} + 2y^{2}R^{-2} = \frac{y^{2}-x^{2}}{R^{2}}=\mathcal{U}_x,
logo é uma primitiva correta em y. Assim, a integração explícita dá
\mathcal{V}(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+\varphi(x).
Impondo a segunda equação de Cauchy–Riemann \mathcal{U}_y=-\mathcal{V}_x, calculo \mathcal{V}_x:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-\frac{y}{R}+\varphi(x)\right) = \frac{2xy}{R^{2}}+\varphi'(x).
Assim
-\mathcal{V}_x = -\frac{2xy}{R^{2}} - \varphi'(x).
Como \mathcal{U}_y=-\dfrac{2xy}{R^{2}}, a igualdade \mathcal{U}_y=-\mathcal{V}_x força \varphi'(x)=0. Logo \varphi é constante. Concluímos que, à constante aditiva, a conjugada harmônica é
\mathcal{V}(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + C.
Normalmente escolhemos C=0 para fixar a constante.

Passo 6

Finalmente (c): a função analítica correspondente é
f(z)=\mathcal{U}(x,y)+i\mathcal{V}(x,y) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}} + i\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+C\right).
Escolhendo C=0 obtemos, em termos de z=x+iy,
f(z)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{z},\qquad z\neq0.
Se mantermos a constante C, isso apenas acrescenta iC a f. Portanto a função analítica natural associada (escolhendo C=0) é f(z)=1/z definida em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Resposta

(a) \mathcal{U} é harmônica em D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\neq0\}.\n
(b) \displaystyle \mathcal{V}(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+C (constante C\in\mathbb{R}).\n
(c) \displaystyle f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{z} (para z\neq0).

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