Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada
é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine
, a conjugada harmônica de
, e (c) Forme a correspondente função analítica
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) provar que
é harmônica em um domínio apropriado ; - (b) determinar
, a conjugada harmônica de (isto é, uma função tal que seja holomorfa); - (c) formar a função analítica correspondente
.
Observação imediata sobre domínio: a expressão tem denominador
, logo faz sentido apenas quando
. Portanto o domínio natural a considerar é
Passo 2
Lembrete rápido (fórmulas e ideias que vou usar).
- Uma função
é harmônica num domínio se satisfaz a equação de Laplace:
- Para derivar funções definidas por quociente, uso regra do produto e regra da cadeia de forma explícita. Aqui é conveniente escrever
Vou calcular
e
passo a passo.
Calculemos
. Usando produto e cadeia:
Agora simplifico:
Passo 3
Calculemos
. Diferenciando
em relação a
(note que
é constante nesse derivar):
Agora vamos precisar das segundas derivadas. Primeiro
. Parto de
Derivando em
:
Aplicando produto e cadeia:
Coloco sobre o mesmo denominador
e simplifico o numerador:
Passo 4
Agora
. Parto de
. Derivando em
:
Simplificando:
Somando
:
Portanto
em qualquer ponto onde
. Conclusão para (a):
é harmônica em
.
Passo 5
Agora (b): encontrar a conjugada harmônica
. Vou usar as equações de Cauchy–Riemann: se
é holomorfa então
Já calculei
e
.
Integro a primeira igualdade
em relação a
:
Para não fazer uma integral longa, observo que a função candidata
tem derivada em
logo é uma primitiva correta em
. Assim, a integração explícita dá
Impondo a segunda equação de Cauchy–Riemann
, calculo
:
Assim
Como
, a igualdade
força
. Logo
é constante. Concluímos que, à constante aditiva, a conjugada harmônica é
Normalmente escolhemos
para fixar a constante.
Passo 6
Finalmente (c): a função analítica correspondente é
Escolhendo
obtemos, em termos de
,
Se mantermos a constante
, isso apenas acrescenta
a
. Portanto a função analítica natural associada (escolhendo
) é
definida em
.
Resposta
(a)
é harmônica em
.\n
(b) (constante
).\n
(c) (para
).
(b)
(c)