Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada
é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine
, a conjugada harmônica de
, e (c) Forme a correspondente função analítica
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que
é harmônica em um domínio apropriado . - (b) Determinar uma conjugada harmônica
de (ou seja, achar tal que e sejam pares de funções harmônicas conjugadas). - (c) Formar a função analítica correspondente
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função
está dada explicitamente por . - Não há restrição explícita sobre
; portanto podemos considerar inicialmente o domínio natural onde tudo é , isto é (ou identificada com ).
A resolução começa agora.
Passo 2
O que significa ser harmônica e como provar: uma função
é harmônica num domínio
se for duas vezes diferenciável e satisfizer a equação de Laplace
Vou calcular as derivadas parciais de
passo a passo, usando regra do produto e regra da cadeia.
Primeiro escrevo
.
Derivando em (produto):
Derivando em
Como
e
, obtém-se
Agora
: aplicar novamente a regra do produto a
:
A derivada interna em
é
, logo
Agora derivadas em
. Primeiro
: diferenciar
em
. Aqui
é constante relativo a
, usamos derivados trigonométricos e regra do produto na parte
:
Portanto
Agora
: derivar
em
:
Somando
:
Conclusão desta etapa:
em todo
. Como
é
em
, segue que
é harmônica em
(portanto em qualquer domínio aberto contido em
, e em particular em todo
).
Passo 3
Agora quero encontrar uma conjugada harmônica
. Conceito e ferramenta: se
e
são as partes real e imaginária de uma função analítica
, então elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (CR):
Como já calculei
e
, vou usar essas igualdades para determinar
.
Lembro:
Pela primeira CR,
. Integro
em
(tratando
como constante):
Como
é constante na integração em
, calculo a integral interna:
(uso integração por partes em
). Somando:
Multiplicando por
e acrescentando função arbitrária de
, obtemos
onde
é uma função a determinar.
Agora uso a segunda CR:
. Calculo
a partir da expressão acima:
Por outro lado
. Igualando,
Isso força
, logo
constante real.
Portanto uma conjugada harmônica é
onde
é constante arbitrária (conjugada harmônica está definida a menos de constante).
Passo 4
Observação elegante (atalho que facilita ver o resultado): escrevendo
e
,
Ao expandir, a parte real de
é exatamente
E a parte imaginária é
que coincide com
para
. Assim
é uma função inteira cuja parte real é
; adicionando
obtemos a família completa de funções analíticas com parte real
.
Passo 5
Resumo prático e interpretação para a prova:
- Para provar que
é harmônica, basta calcular e e verificar que somam zero (feito no Passo 2). - Para achar a conjugada harmônica, use as equações de Cauchy–Riemann: integre
em e ajuste a função de usando (feito no Passo 3). - Alternativa rápida: tente reconhecer
como a parte real de alguma expressão simples em (aqui ), daí a conjugada e a função analítica vêm “de bandeja”.
Resposta
(a)
é harmônica em
(portanto em toda
), pois
.\n
(b) Uma conjugada harmônica é , com
.\n
(c) A função analítica correspondente é (escolhendo
obtém-se
).
(b) Uma conjugada harmônica é
(c) A função analítica correspondente é