Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada \mathcal{U} é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine \mathcal{U}(x, y), a conjugada harmônica de \mathcal{U}, e (c) Forme a correspondente função analítica f(z)=U+i v
U(x, y)=e^{x}(x \cos y-y \operatorname{sen} y)

Passo 1

O enunciado fornece a função
\mathcal{U}(x,y)=e^{x}\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr)
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio apropriado D.
  • (b) Determinar uma conjugada harmônica v(x,y) de \mathcal{U} (ou seja, achar v tal que u=\mathcal{U} e v sejam pares de funções harmônicas conjugadas).
  • (c) Formar a função analítica correspondente f(z)=u+iv.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função u(x,y)=\mathcal{U}(x,y) está dada explicitamente por u(x,y)=e^{x}(x\cos y - y\sin y).
  • Não há restrição explícita sobre x,y; portanto podemos considerar inicialmente o domínio natural onde tudo é C^\infty, isto é \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{C} identificada com \mathbb{R}^2).
A resolução começa agora.

Passo 2

O que significa ser harmônica e como provar: uma função u(x,y) é harmônica num domínio D se for duas vezes diferenciável e satisfizer a equação de Laplace
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{em }D.
Vou calcular as derivadas parciais de u passo a passo, usando regra do produto e regra da cadeia.
Primeiro escrevo u(x,y)=e^{x} \cdot \bigl(x\cos y - y\sin y\bigr).
Derivando em x (produto):
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\bigr)\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + e^{x}\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr).
Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{\partial}{\partial x}(x\cos y - y\sin y)=\cos y, obtém-se
u_x = e^{x}\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + e^{x}\cos y = e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr).
Agora u_{xx}: aplicar novamente a regra do produto a u_x=e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr):
u_{xx} = e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + e^{x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr).
A derivada interna em x é \cos y, logo
u_{xx} = e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + e^{x}\cos y = e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr).
Agora derivadas em y. Primeiro u_y: diferenciar u=e^{x}(x\cos y - y\sin y) em y. Aqui e^{x} é constante relativo a y, usamos derivados trigonométricos e regra do produto na parte - y\sin y:
\frac{\partial}{\partial y}(x\cos y)= -x\sin y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-y\sin y)=-(\sin y + y\cos y).
Portanto
u_y = e^{x}\bigl(-x\sin y -\sin y - y\cos y\bigr) = -e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr).
Agora u_{yy}: derivar u_y = -e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr) em y:
u_{yy} = -e^{x}\bigl((x+1)\cos y + (\cos y - y\sin y)\bigr) = -e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr).
Somando u_{xx}+u_{yy}:
u_{xx}+u_{yy} = e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr) - e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr) = 0.
Conclusão desta etapa: \Delta u=0 em todo \mathbb{R}^2. Como u é C^\infty em \mathbb{R}^2, segue que u é harmônica em D=\mathbb{R}^2 (portanto em qualquer domínio aberto contido em \mathbb{R}^2, e em particular em todo \mathbb{C}).

Passo 3

Agora quero encontrar uma conjugada harmônica v(x,y). Conceito e ferramenta: se u e v são as partes real e imaginária de uma função analítica f, então elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (CR):
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Como já calculei u_x e u_y, vou usar essas igualdades para determinar v.
Lembro:
u_x = e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr),\qquad u_y = -e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr).
Pela primeira CR, v_y = u_x. Integro v_y em y (tratando x como constante):
v(x,y)=\int v_y\,dy=\int e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr)\,dy.
Como e^{x} é constante na integração em y, calculo a integral interna:
\int (x+1)\cos y\,dy = (x+1)\sin y,
\int -y\sin y\,dy = y\cos y - \sin y
(uso integração por partes em \int y\sin y\,dy). Somando:
\int\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr)dy = (x+1)\sin y + y\cos y - \sin y = x\sin y + y\cos y.
Multiplicando por e^{x} e acrescentando função arbitrária de x, obtemos
v(x,y) = e^{x}\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr) + h(x),
onde h(x) é uma função a determinar.
Agora uso a segunda CR: v_x = -u_y. Calculo v_x a partir da expressão acima:
v_x = e^{x}\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr) + e^{x}\sin y + h'(x) = e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr) + h'(x).
Por outro lado -u_y = e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr). Igualando,
e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr) + h'(x) = e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr).
Isso força h'(x)=0, logo h(x)=C constante real.
Portanto uma conjugada harmônica é
v(x,y)=e^{x}\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr) + C,
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária (conjugada harmônica está definida a menos de constante).

Passo 4

Observação elegante (atalho que facilita ver o resultado): escrevendo z=x+iy e e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y),
z e^{z} = (x+iy)\,e^{x}(\cos y + i\sin y).
Ao expandir, a parte real de z e^{z} é exatamente
\operatorname{Re}\bigl(z e^{z}\bigr) = e^{x}\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr)=u(x,y).
E a parte imaginária é
\operatorname{Im}\bigl(z e^{z}\bigr) = e^{x}\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr),
que coincide com v(x,y) para C=0. Assim f(z)=z e^{z} é uma função inteira cuja parte real é u; adicionando iC obtemos a família completa de funções analíticas com parte real u.

Passo 5

Resumo prático e interpretação para a prova:
  • Para provar que u é harmônica, basta calcular u_{xx} e u_{yy} e verificar que somam zero (feito no Passo 2).
  • Para achar a conjugada harmônica, use as equações de Cauchy–Riemann: integre v_y=u_x em y e ajuste a função de x usando v_x=-u_y (feito no Passo 3).
  • Alternativa rápida: tente reconhecer u como a parte real de alguma expressão simples em z (aqui u=\operatorname{Re}(z e^{z})), daí a conjugada e a função analítica vêm “de bandeja”.

Resposta

(a) \mathcal{U} é harmônica em D=\mathbb{R}^2 (portanto em toda \mathbb{C}), pois \mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}=0.\n
(b) Uma conjugada harmônica é v(x,y)=e^{x}\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr)+C, com C\in\mathbb{R}.\n
(c) A função analítica correspondente é f(z)=\mathcal{U}+i v = z e^{z}+iC (escolhendo C=0 obtém-se f(z)=z e^{z}).

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