Nos problemas (9-10), obtenha a derivada direcional dado que \boldsymbol{u} faz o ângulo indicado com o eixo x positivo.
f(x, y)=3 x-y^{2} ; \theta=45^{o}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=3x-y^2 na direção de um vetor unitário \mathbf{u} que forma \theta=45^\circ com o eixo x. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e a definição
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf{u}.

Passo 2

Determinamos o vetor unitário \mathbf{u} pela sua relação com o ângulo \theta:
\mathbf{u} = (\cos\theta,\;\sin\theta).
Como \theta=45^\circ e \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, segue
\mathbf{u} = \Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
Para f(x,y)=3x-y^2 obtemos
\nabla f(x,y) = \bigl(3,\,-2y\bigr).

Passo 4

Aplicamos a definição de derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(x,y) =\nabla f(x,y)\cdot \mathbf{u} =3\cdot\tfrac{\sqrt2}{2} + (-2y)\cdot\tfrac{\sqrt2}{2} =\tfrac{\sqrt2}{2}\,(3 - 2y).

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \frac{\sqrt2}{2}\,(3 - 2y).

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